ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все числа t, которым на числовой окружности (см. рис. 2) соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге (т. е. дуге без её концов):

a) DM; б) BD; в) MD; г) DB.

(М — середина второй четверти.)

Найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге; ($M$ — середина второй четверти):

а) $DM$;

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$ $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k;$$

б) $BD$;

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k;$$

в) $MD$;

$$\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k;$$ $$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k;$$

г) $DB$;

$$-\frac{\pi }{2}+2\pi k<t<\frac{\pi }{2}+2\pi k$$

Как связаны числа $t$ и точки на числовой окружности

• Любое действительное число $t$ задаёт точку на единичной окружности поворотом от положительного направления оси $Ox$ на угол $t$ против часовой стрелки.
• Углы, отличающиеся на $2\pi k$ ($k\in\mathbb{Z}$), соответствуют одной и той же точке: $t \sim t+2\pi k$. Поэтому любые ответы надо давать с добавкой $+2\pi k$.
• Мы считаем, что $\;0\;$ — точка $A(1,0)$, $\;\frac{\pi}{2}\;$ — точка $B(0,1)$, $\;\pi\;$ — точка $C(-1,0)$, $\;\tfrac{3\pi}{2}\equiv-\tfrac{\pi}{2}\;$ — точка $D(0,-1)$.

Где находится $M$

• «Середина второй четверти» означает середину дуги между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$. Длина четверти — $\frac{\pi}{2}$.
• Тогда

  $$\alpha_M \;=\; \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} \;=\; \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4} \;=\; \frac{3\pi}{4}.$$

  То есть $M$ соответствует углу $t\equiv \frac{3\pi}{4}\pmod{2\pi}$.

Что значит запись дуги $XY$

• Будем понимать «дуга $XY$» как ориентированную дугу: идём в положительном направлении (против часовой стрелки) от точки $X$ до точки $Y$.
• Концы дуг не включаются (по условию стоят строгие неравенства), поэтому укажем открытые интервалы по $t$.

Дальше во всех пунктах добавка $+2\pi k$ ($k\in\mathbb{Z}$) подразумевается для охвата всех оборотов.

а) Дуга $DM$

• Точка $D$ соответствует $t=-\frac{\pi}{2}$ (удобнее взять именно это, а не $\tfrac{3\pi}{2}$, чтобы угол по $t$ возрастал без разрыва).
• Точка $M$ соответствует $t=\frac{3\pi}{4}$.

Идя от $D$ к $M$ против часовой стрелки, мы пробегаем все $t$ между этими значениями, не включая концы:

$$\boxed{ -\frac{\pi}{2}+2\pi k \;<\; t \;<\; \frac{3\pi}{4}+2\pi k }$$

(эквивалентная запись с «$\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}$» даёт то же самое: $\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}$).

Проверка здравым смыслом: $t=0$ попадает (действительно, $-\frac{\pi}{2}<0<\frac{3\pi}{4}$), и точка $A(1,0)$ лежит на дуге от $D$ вверх до $M$.

б) Дуга $BD$

• $B:\;t=\frac{\pi}{2}$, $\;D:\;t=\frac{3\pi}{2}$ (здесь удобно взять именно $\tfrac{3\pi}{2}$, потому что идём от $B$ к $D$ в сторону возрастания $t$).
• Это левая полукруга (вторая и третья четверти).

Отсюда:

$$\boxed{ \frac{\pi}{2}+2\pi k \;<\; t \;<\; \frac{3\pi}{2}+2\pi k }$$

Быстрая проверка: $t=\pi$ (точка $C(-1,0)$) попадает внутрь, как и должно быть.

в) Дуга $MD$

• $M:\;t=\frac{3\pi}{4}$, $\;D:\;t=\frac{3\pi}{2}$.
• Идём от середины второй четверти до низа окружности.

Итак:

$$\boxed{ \frac{3\pi}{4}+2\pi k \;<\; t \;<\; \frac{3\pi}{2}+2\pi k }$$

(или, в исходной форме, $\;\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}<t<\frac{3\pi}{2}\;$).

Проверка: $t=\pi$ входит, $t=\tfrac{2\pi}{3}$ — нет (он меньше $\tfrac{3\pi}{4}$).

г) Дуга $DB$

• Удобно взять $D:\;t=-\frac{\pi}{2}$ и $B:\;t=\frac{\pi}{2}$.
• Это правая полукруга (четвёртая и первая четверти).

Получаем:

$$\boxed{ -\frac{\pi}{2}+2\pi k \;<\; t \;<\; \frac{\pi}{2}+2\pi k }$$

Проверка: $t=0$ входит; $t=\pi$ — нет.