ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ — первая, ВС — вторая, CD — третья, DA — четвёртая (рис. 2). Опираясь на эту геометрическую модель, решите следующие задачи.

Первая четверть разделена точкой М в отношении 2:3, считая от точки А. Чему равна длина дуги: AM, MB, DM, МС?

Первая четверть разделена точкой $M$ в отношении $2 : 3$;

Найдем длину дуги:

$$AM=\frac{2}{5}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{5},MB=\frac{3}{5}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{10};$$

$$AM = \frac{2}{5} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{5}, \quad MB = \frac{3}{5} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{10};$$ $$DM=DA+AM=\frac{\pi }{2}+\frac{2}{5}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{5}=\frac{7\pi }{10};$$

$$DM = DA + AM = \frac{\pi}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{5} = \frac{7\pi}{10};$$ $$MC = MB + BC = \frac{3}{5} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{2} = \frac{8\pi}{10} = \frac{4\pi}{5}.$$

Шаг 1: Геометрическое описание единичной окружности

Единичная окружность — это окружность с радиусом 1, расположенная на координатной плоскости. Горизонтальный диаметр $CA$ и вертикальный диаметр $DB$ разбивают окружность на четыре части, называемые четвертями. Каждая четверть является частью окружности между двумя соседними осями, то есть между двумя последовательными точками пересечения окружности с осями.

• Первая четверть — между точками $A$ и $B$.
• Вторая четверть — между точками $B$ и $C$.
• Третья четверть — между точками $C$ и $D$.
• Четвёртая четверть — между точками $D$ и $A$.

Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ — это координаты точек пересечения окружности с осями $X$ и $Y$.

Шаг 2: Координаты точек на окружности

Рассмотрим единичную окружность, где радиус равен 1. Тогда для каждой точки окружности можно записать её координаты, используя углы, образующиеся с положительным направлением оси $X$. Углы для ключевых точек:

• Точка $A$ — на оси $X$, то есть угол с положительным направлением оси $X$ равен 0°, и координаты $A = (1, 0)$.
• Точка $B$ — на оси $Y$, угол с осью $X$ равен 90°, и координаты $B = (0, 1)$.
• Точка $C$ — на оси $X$ в отрицательной половине, угол с осью $X$ равен 180°, и координаты $C = (-1, 0)$.
• Точка $D$ — на оси $Y$ в отрицательной половине, угол с осью $X$ равен 270°, и координаты $D = (0, -1)$.

Шаг 3: Определение длины дуги

Длина дуги окружности определяется как произведение радиуса на величину угла в радианах. В данной задаче радиус окружности равен 1 (единичная окружность), и для каждой дуги нужно найти соответствующий угол в радианах, который будет определять её длину.

Шаг 4: Разделение первой четверти

Первая четверть окружности — это дуга от точки $A$ до точки $B$, то есть угол от $A$ до $B$ составляет $90^\circ$, что в радианах равно:

$$\frac{\pi}{2} \, \text{рад}.$$

Теперь, точка $M$ разделяет эту дугу в отношении $2 : 3$, считая от точки $A$. Это значит, что отрезок $AM$ составит 2 части, а отрезок $MB$ — 3 части.

Шаг 5: Вычисление длины дуг

Длина дуги $AM$:

Так как точка $M$ делит дугу $AB$ в отношении 2:3, то длина дуги $AM$ составит $\frac{2}{5}$ всей дуги $AB$. Длина всей дуги $AB$ равна $\frac{\pi}{2}$, следовательно:

$$AM = \frac{2}{5} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{5}.$$

Длина дуги $MB$:

Так как длина дуги $MB$ составляет $\frac{3}{5}$ длины дуги $AB$, то:

$$MB = \frac{3}{5} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{10}.$$

Длина дуги $DM$:

Дуга $DM$ — это сумма дуг $DA$ и $AM$. Длина дуги $DA$ составляет половину окружности, то есть $\frac{\pi}{2}$, и поэтому:

$$DM = DA + AM = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{10} + \frac{2\pi}{10} = \frac{7\pi}{10}.$$

Длина дуги $MC$:

Дуга $MC$ — это сумма дуг $MB$ и $BC$. Длина дуги $BC$ равна $\frac{\pi}{2}$, следовательно:

$$MC = MB + BC = \frac{3\pi}{10} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{10} + \frac{5\pi}{10} = \frac{8\pi}{10} = \frac{4\pi}{5}.$$

Итоговые результаты

• Длина дуги $AM$ равна $\frac{\pi}{5}$.
• Длина дуги $MB$ равна $\frac{3\pi}{10}$.
• Длина дуги $DM$ равна $\frac{7\pi}{10}$.
• Длина дуги $MC$ равна $\frac{4\pi}{5}$.