ГДЗ 10-11 Класс Номер 4.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ — первая, ВС — вторая, CD — третья, DA — четвёртая (рис. 2). Опираясь на эту геометрическую модель, решите следующие задачи.

Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1:5, считая от точки С. Чему равна длина дуги: CP, PD, АР?

Третья четверть разделена точкой $P$ в отношении $1 : 5$;

Найдем длину дуги:

$$CP=\frac{1}{6}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{12},PD=\frac{5}{6}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{12};$$

$$CP = \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12}, \quad PD = \frac{5}{6} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12};$$ $$AP = AB + BC + CP = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{2} = \pi + \frac{\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}.$$

Условия задачи:

• У нас есть единичная окружность.
• Горизонтальный диаметр $СА$ и вертикальный диаметр $DB$ разбивают окружность на четыре четверти: $АВ$ — первая, $ВС$ — вторая, $CD$ — третья, $DA$ — четвертая.
• Третья четверть, от точки $C$ до точки $D$, делится точкой $P$ в отношении 1:5.

Нужно найти длину дуги:

• $CP$,
• $PD$,
• $AP$.

1. Определение длины всей третьей четверти:

Третья четверть находится между точками $C$ и $D$. Так как окружность единичная, вся её длина равна $2\pi$. Четверть окружности составляет $\frac{1}{4}$ от общей длины окружности, то длина третьей четверти будет равна:

$$\text{Длина третьей четверти} = \frac{\pi}{2}$$

2. Определение точек и долей дуг:

Точка $P$ делит третью четверть $CD$ в отношении 1:5, то есть длина дуги $CP$ будет составлять $\frac{1}{6}$ от всей длины дуги $CD$, а длина дуги $PD$ — $\frac{5}{6}$ от всей длины дуги $CD$.

Так как длина дуги $CD$ равна $\frac{\pi}{2}$, то можно найти длину дуги $CP$ и $PD$:

Длина дуги $CP$:

$$CP = \frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12}$$

Длина дуги $PD$:

$$PD = \frac{5}{6} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{12}$$

3. Длина дуги $AP$:

Длина дуги $AP$ состоит из трёх частей:

• Дуга $AB$, которая является первой четвертью окружности.
• Дуга $BC$, которая является второй четвертью окружности.
• Дуга $CP$, которую мы только что нашли.

Длина дуги $AB$ и $BC$:

Каждая из этих дуг составляет $\frac{\pi}{2}$ (по определению четверти окружности). То есть:

$$AB = \frac{\pi}{2}, \quad BC = \frac{\pi}{2}$$

Сложение длин дуг:

Теперь можем сложить длины дуг $AB$, $BC$ и $CP$ для нахождения длины дуги $AP$:

$$AP = AB + BC + CP = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}$$

Преобразуем выражение:

$$AP = \pi + \frac{\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$$

Ответ:

• Длина дуги $CP = \frac{\pi}{12}$,
• Длина дуги $PD = \frac{5\pi}{12}$,
• Длина дуги $AP = \frac{13\pi}{12}$.