ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $3^x = 9$;

б) $2^x = 16$;

в) $\left( \frac{1}{9} \right)^x = 1$;

г) $0{,}5^x = 0{,}125$

Решить уравнение:

а) $3^x = 9$;
$3^x = 3^2$;
$x = 2$;
Ответ: 2.

б) $2^x = 16$;
$2^x = 2^4$;
$x = 4$;
Ответ: 4.

в) $\left( \frac{1}{9} \right)^x = 1$;
$\left( \frac{1}{9} \right)^x = \left( \frac{1}{9} \right)^0$;
$x = 0$;
Ответ: 0.

г) $0{,}5^x = 0{,}125$;
$\left( \frac{5}{10} \right)^x = \frac{125}{1\,000}$;
$\left( \frac{1}{2} \right)^x = \frac{1}{8}$;
$\left( \frac{1}{2} \right)^x = \left( \frac{1}{2} \right)^3$;
$x = 3$;
Ответ: 3.

а) $3^x = 9$

Число 9 можно представить как степень числа 3:
$9 = 3 \times 3 = 3^2$

Подставим это в уравнение:
$3^x = 3^2$

Так как основания одинаковые (обе стороны уравнения имеют основание 3), приравниваем показатели степеней:
$x = 2$

Ответ: 2

б) $2^x = 16$

Число 16 можно представить как степень числа 2:
$16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$

Подставим это в уравнение:
$2^x = 2^4$

Основания одинаковые, значит приравниваем показатели:
$x = 4$

Ответ: 4

в) $\left( \frac{1}{9} \right)^x = 1$

Число 1 можно представить как любую степень любого ненулевого числа в нулевой степени:
$\left( \frac{1}{9} \right)^0 = 1$

Подставим в уравнение:
$\left( \frac{1}{9} \right)^x = \left( \frac{1}{9} \right)^0$

Основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:
$x = 0$

Ответ: 0

г) $0{,}5^x = 0{,}125$

Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных:
$0{,}5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$0{,}125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Таким образом, уравнение переписывается:
$\left( \frac{1}{2} \right)^x = \frac{1}{8}$

Теперь представим правую часть тоже как степень числа $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^3$
Поскольку $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Подставим это в уравнение:
$\left( \frac{1}{2} \right)^x = \left( \frac{1}{2} \right)^3$

Основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:
$x = 3$

Ответ: 3