ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x — 9}} = \sqrt[6]{125 \cdot 5^{6x — 12}}$;

б) $\sqrt[3]{0{,}2} \cdot \sqrt{0{,}2^{2x — \frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{0{,}04^{-3x + 6}}$

Решить уравнение:

а) $\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x — 9}} = \sqrt[6]{125 \cdot 5^{6x — 12}}$;

$\sqrt{5^4 \cdot 5^{14x — 9}} = \sqrt[6]{5^3 \cdot 5^{6x — 12}}$;

$5^{\frac{1}{2}(4 + 14x — 9)} = 5^{\frac{1}{6}(3 + 6x — 12)}$;

$\frac{1}{2}(14x — 5) = \frac{1}{6}(6x — 9)$;

$3(14x — 5) = 6x — 9$;

$42x — 15 = 6x — 9$;

$36x = 6$;

$x = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$;

Ответ: $\frac{1}{6}$.

б) $\sqrt[3]{0{,}2} \cdot \sqrt{0{,}2^{2x — \frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{0{,}04^{-3x + 6}}$;

$\sqrt[6]{0{,}2^2 \cdot 0{,}2^{3(2x — \frac{1}{3})}} = \sqrt[3]{0{,}2^{2(-3x + 6)}}$;

$0{,}2^{\frac{1}{6}(2 + 6x — 1)} = 0{,}2^{\frac{1}{3}(-6x + 12)}$;

$\frac{1}{6}(6x + 1) = \frac{1}{3}(12 — 6x)$;

$6x + 1 = 2(12 — 6x)$;

$6x + 1 = 24 — 12x$;

$18x = 23$;

$x = \frac{23}{18} = 1\frac{5}{18}$;

Ответ: $1\frac{5}{18}$.

а) $\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x — 9}} = \sqrt[6]{125 \cdot 5^{6x — 12}}$

Шаг 1. Упростим левую часть уравнения

$$\sqrt{625} = \sqrt{5^4} = 5^2$$ $$\sqrt{5^{14x — 9}} = 5^{\frac{1}{2}(14x — 9)}$$

По свойству:

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \Rightarrow \sqrt{625 \cdot 5^{14x — 9}} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}(14x — 9)} = 5^{2 + \frac{1}{2}(14x — 9)}$$

Шаг 2. Упростим правую часть уравнения

$$125 = 5^3 \Rightarrow \sqrt[6]{125 \cdot 5^{6x — 12}} = \sqrt[6]{5^3 \cdot 5^{6x — 12}} = \sqrt[6]{5^{3 + 6x — 12}} = 5^{\frac{1}{6}(6x — 9)}$$

Шаг 3. Приравняем степени

Левая часть:

$$5^{2 + \frac{1}{2}(14x — 9)} = 5^{\frac{1}{2}(4 + 14x — 9)} = 5^{\frac{1}{2}(14x — 5)}$$

Теперь уравнение:

$$5^{\frac{1}{2}(14x — 5)} = 5^{\frac{1}{6}(6x — 9)}$$

Шаг 4. Приравниваем показатели (так как основания одинаковые)

$$\frac{1}{2}(14x — 5) = \frac{1}{6}(6x — 9)$$

Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей:

$$3(14x-5)=6x-9\Rightarrow 42x-15=6x-9\Rightarrow 42x-6x=-9+15\Rightarrow$$

$$3(14x — 5) = 6x — 9 \Rightarrow 42x — 15 = 6x — 9 \Rightarrow 42x — 6x = -9 + 15 \Rightarrow 36x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

Ответ: $\frac{1}{6}$

б) $\sqrt[3]{0{,}2} \cdot \sqrt{0{,}2^{2x — \frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{0{,}04^{-3x + 6}}$

Шаг 1. Перепишем левую часть

$$\sqrt[3]{0{,}2} = 0{,}2^{1/3}, \quad \sqrt{0{,}2^{2x — \frac{1}{3}}} = 0{,}2^{\frac{1}{2}(2x — \frac{1}{3})}$$

Перемножим:

$$0{,}2^{1/3} \cdot 0{,}2^{\frac{1}{2}(2x — \frac{1}{3})} = 0{,}2^{1/3 + \frac{1}{2}(2x — \frac{1}{3})}$$

Шаг 2. Приведем показатель к общему виду

$$\frac{1}{2}(2x — \frac{1}{3}) = x — \frac{1}{6} \Rightarrow 0{,}2^{1/3 + x — \frac{1}{6}} = 0{,}2^{x + \frac{1}{3} — \frac{1}{6}} = 0{,}2^{x + \frac{1}{6}}$$

Шаг 3. Упростим правую часть

$$0{,}04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = (5^{-2}) \Rightarrow 0{,}04 = (2^{-2}) \cdot (5^{-2}) = (10^{-2})$$

$$0{,}04 = (0{,}2)^2 \Rightarrow \sqrt[3]{(0{,}2^2)^{-3x + 6}} = (0{,}2^2)^{\frac{1}{3}(-3x + 6)} = 0{,}2^{\frac{2}{3}(-3x + 6)}$$

Шаг 4. Теперь у нас уравнение:

Левая часть:

$$0{,}2^{x + \frac{1}{6}} \quad\text{(из шага 2)}$$

Правая часть:

$$0{,}2^{\frac{2}{3}(-3x + 6)} = 0{,}2^{-2x + 4}$$

Шаг 5. Приравниваем показатели:

$$x + \frac{1}{6} = -2x + 4 \Rightarrow x + 2x = 4 — \frac{1}{6} \Rightarrow 3x = \frac{24}{6} — \frac{1}{6} = \frac{23}{6} \Rightarrow x = \frac{23}{18}$$

Ответ: $\dfrac{23}{18} = 1\dfrac{5}{18}$