ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0$;

б) $3^{2x} — 6 \cdot 3^x — 27 = 0$;

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} — 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x — 6 = 0$;

г) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x — 6 = 0$

Решить уравнение:

а) $2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0$;

Пусть $y = 2^x$, тогда:
$y^2 — 6y + 8 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$, тогда:
$y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$;

Первое значение:
$2^x = 2$;
$x = 1$;

Второе значение:
$2^x = 4$;
$2^x = 2^2$;
$x = 2$;

Ответ: 1; 2.

б) $3^{2x} — 6 \cdot 3^x — 27 = 0$;

Пусть $y = 3^x$, тогда:
$y^2 — 6y — 27 = 0$;
$D = 6^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144$, тогда:
$y_1 = \frac{6 — 12}{2} = -3$ и $y_2 = \frac{6 + 12}{2} = 9$;

Первое значение:
$3^x = -3$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$3^x = 9$;
$3^x = 3^2$;
$x = 2$;

Ответ: 2.

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} — 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x — 6 = 0$;

Пусть $y = \left(\frac{1}{6}\right)^x$, тогда:
$y^2 — 5y — 6 = 0$;
$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6$;

Первое значение:
$\left(\frac{1}{6}\right)^x = -1$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$\left(\frac{1}{6}\right)^x = 6$;
$x = -1$;

Ответ: -1.

г) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x — 6 = 0$;

Пусть $y = \left(\frac{1}{6}\right)^x$, тогда:
$y^2 + 5y — 6 = 0$;
$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6$ и $y_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1$;

Первое значение:
$\left(\frac{1}{6}\right)^x = -6$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$\left(\frac{1}{6}\right)^x = 1$;
$x = 0$;

Ответ: 0.

а) $2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Шаг 1: Заменим $2^x = y$

Тогда:

$$2^{2x} = (2^x)^2 = y^2$$

Уравнение примет вид:

$$y^2 — 6y + 8 = 0$$

Шаг 2: Найдём дискриминант

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$y_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \Rightarrow y_1 = 2,\ y_2 = 4$$

Шаг 4: Вернёмся к переменной $x$

Первый корень:

$$2^x = 2 \Rightarrow x = 1$$

Второй корень:

$$2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$$

Ответ: 1; 2

б) $3^{2x} — 6 \cdot 3^x — 27 = 0$

Шаг 1: Заменим $3^x = y$

Тогда:

$$3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$$

Уравнение становится:

$$y^2 — 6y — 27 = 0$$

Шаг 2: Найдём дискриминант

$$D = (-6)^2 + 4 \cdot 27 = 36 + 108 = 144$$

Шаг 3: Найдём корни

$$y_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{6 \pm 12}{2} \Rightarrow y_1 = -3,\ y_2 = 9$$

Шаг 4: Вернёмся к переменной $x$

• $3^x = -3$ — нет решений, т.к. степень положительного числа не может быть отрицательной.
• $3^x = 9 = 3^2 \Rightarrow x = 2$

Ответ: 2

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} — 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x — 6 = 0$

Шаг 1: Заменим $y = \left(\frac{1}{6}\right)^x$

Тогда:

$$\left( \frac{1}{6} \right)^{2x} = y^2 \Rightarrow y^2 — 5y — 6 = 0$$

Шаг 2: Найдём дискриминант

$$D = (-5)^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49$$

Шаг 3: Найдём корни

$$y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} \Rightarrow y_1 = -1,\ y_2 = 6$$

Шаг 4: Вернёмся к переменной $x$

• $\left(\frac{1}{6}\right)^x = -1$ — нет решений, т.к. показатель степени не может дать отрицательное число.
• $\left(\frac{1}{6}\right)^x = 6 \Rightarrow 6^{-x} = 6^1 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1$

Ответ: -1

г) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2x} + 5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^x — 6 = 0$

Шаг 1: Заменим $y = \left(\frac{1}{6}\right)^x$

Тогда:

$$y^2 + 5y — 6 = 0$$

Шаг 2: Найдём дискриминант

$$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49$$

Шаг 3: Найдём корни

$$y_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} \Rightarrow y_1 = -6,\ y_2 = 1$$

Шаг 4: Вернёмся к переменной $x$

• $\left(\frac{1}{6}\right)^x = -6$ — нет решений
• $\left(\frac{1}{6}\right)^x = 1 \Rightarrow x = 0$

Ответ: 0

Итоговые ответы:

а) 1; 2
б) 2
в) -1
г) 0