ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2 \cdot 4^x — 5 \cdot 2^x + 2 = 0$;

б) $3 \cdot 9^x — 10 \cdot 3^x + 3 = 0$;

в) $4 \cdot \left( \frac{1}{16} \right)^x + 15 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^x — 4 = 0$;

г) $(0{,}25)^x + 1{,}5 \cdot (0{,}5)^x — 1 = 0$

Решить уравнение:

а) $2 \cdot 4^x — 5 \cdot 2^x + 2 = 0$;

$2 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 2 = 0$;

Пусть $y = 2^x$, тогда:

$2y^2 — 5y + 2 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$, тогда:

$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$;

$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$;

Первое значение:
$2^x = \frac{1}{2}$;
$x = -1$;

Второе значение:
$2^x = 2$;
$x = 1$;

Ответ: $\pm 1$.

б) $3 \cdot 9^x — 10 \cdot 3^x + 3 = 0$;

$3 \cdot 3^{2x} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0$;

Пусть $y = 3^x$, тогда:

$3y^2 — 10y + 3 = 0$;

$D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$, тогда:

$y_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$;

$y_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$;

Первое значение:
$3^x = \frac{1}{3}$;
$x = -1$;

Второе значение:
$3^x = 3$;
$x = 1$;

Ответ: $\pm 1$.

в) $4 \cdot \left( \frac{1}{16} \right)^x + 15 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^x — 4 = 0$;

$4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{2x} + 15 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^x — 4 = 0$;

Пусть $y = \left( \frac{1}{4} \right)^x$, тогда:

$4y^2 + 15y — 4 = 0$;

$D = 15^2 + 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225 + 64 = 289$, тогда:

$y_1 = \frac{-15 — 17}{2 \cdot 4} = -\frac{32}{8} = -4$;

$y_2 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$;

Первое значение:
$\left( \frac{1}{4} \right)^x = -4$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$\left( \frac{1}{4} \right)^x = \frac{1}{4}$;
$x = 1$;

Ответ: 1.

г) $(0{,}25)^x + 1{,}5 \cdot (0{,}5)^x — 1 = 0$;

$2 \cdot (0{,}5)^{2x} + 3 \cdot (0{,}5)^x — 2 = 0$;

Пусть $y = (0{,}5)^x$, тогда:

$2y^2 + 3y — 2 = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2$;

$y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0{,}5$;

Первое значение:
$(0{,}5)^x = -2$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$(0{,}5)^x = 0{,}5$;
$x = 1$;

Ответ: 1.

а) $2 \cdot 4^x — 5 \cdot 2^x + 2 = 0$

Шаг 1: Преобразуем все степени к основанию 2

$$4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \Rightarrow 2 \cdot 4^x = 2 \cdot 2^{2x}$$

Подставим в уравнение:

$$2 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 2 = 0$$

Шаг 2: Заменим $y = 2^x$, тогда $2^{2x} = y^2$

$$2y^2 — 5y + 2 = 0$$

Шаг 3: Найдём дискриминант

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Шаг 4: Найдём корни квадратного уравнения

$$y_1 = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Шаг 5: Вернёмся к переменной $x$

Первое значение:

$$2^x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2^x = 2^{-1} \Rightarrow x = -1$$

Второе значение:

$$2^x = 2 \Rightarrow x = 1$$

Ответ: $\boxed{\pm 1}$

б) $3 \cdot 9^x — 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

Шаг 1: Преобразуем к основанию 3

$$9^x = (3^2)^x = 3^{2x} \Rightarrow 3 \cdot 9^x = 3 \cdot 3^{2x}$$

Подставим в уравнение:

$$3 \cdot 3^{2x} — 10 \cdot 3^x + 3 = 0$$

Шаг 2: Обозначим $y = 3^x$, тогда $3^{2x} = y^2$

$$3y^2 — 10y + 3 = 0$$

Шаг 3: Дискриминант

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64$$

Шаг 4: Корни

$$y_1 = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$

Шаг 5: Возвращаемся к $x$

Первое значение:

$$3^x = \frac{1}{3} = 3^{-1} \Rightarrow x = -1$$

Второе значение:

$$3^x = 3 \Rightarrow x = 1$$

Ответ: $\boxed{\pm 1}$

в) $4 \cdot \left( \frac{1}{16} \right)^x + 15 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^x — 4 = 0$

Шаг 1: Представим всё через $\left(\frac{1}{4}\right)^x$

$$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \Rightarrow \left( \frac{1}{16} \right)^x = \left( \frac{1}{4} \right)^{2x} \Rightarrow 4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{2x} + 15 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^x — 4 = 0$$

Шаг 2: Подставим $y = \left( \frac{1}{4} \right)^x \Rightarrow \left( \frac{1}{4} \right)^{2x} = y^2$

$$4y^2 + 15y — 4 = 0$$

Шаг 3: Дискриминант

$$D = 15^2 + 4 \cdot 4 \cdot 4 = 225 + 64 = 289$$

Шаг 4: Корни

$$y_1 = \frac{-15 — 17}{8} = -4, \quad y_2 = \frac{-15 + 17}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Шаг 5: Возвращаемся к $x$

Первый корень:

$$\left( \frac{1}{4} \right)^x = -4 \Rightarrow \text{Нет решения (отрицательная степень недопустима для положительного основания)}$$

Второй корень:

$$\left( \frac{1}{4} \right)^x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

г) $(0{,}25)^x + 1{,}5 \cdot (0{,}5)^x — 1 = 0$

Шаг 1: Представим всё через $(0{,}5)^x$

Поскольку:

$$0{,}25 = (0{,}5)^2 \Rightarrow (0{,}25)^x = (0{,}5)^{2x}$$

Подставим:

$$(0{,}5)^{2x} + 1{,}5 \cdot (0{,}5)^x — 1 = 0$$

Умножим всё на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$$2 \cdot (0{,}5)^{2x} + 3 \cdot (0{,}5)^x — 2 = 0$$

Шаг 2: Заменим $y = (0{,}5)^x \Rightarrow (0{,}5)^{2x} = y^2$

$$2y^2 + 3y — 2 = 0$$

Шаг 3: Дискриминант

$$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$$

Шаг 4: Корни

$$y_1 = \frac{-3 — 5}{4} = -2, \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5$$

Шаг 5: Возвращаемся к $x$

Первое значение:

$$(0{,}5)^x = -2 \Rightarrow \text{Нет решений (отрицательное значение степени невозможно для положительного основания)}$$

Второе значение:

$$(0{,}5)^x = 0{,}5 = (0{,}5)^1 \Rightarrow x = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{\pm 1}$
б) $\boxed{\pm 1}$
в) $\boxed{1}$
г) $\boxed{1}$