ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\mathrm{}}^{}$$3^{x-1} — \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207$;

б) $\text{exception 25:}$$\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x — 0.5^{3-x}$

Решить уравнение:

а) ${\mathrm{}}^{}$$3^{x-1} — \left(\frac{1}{3}\right)^{3-x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}} + 207$;

$3^{x-1} — 3^{-(3-x)} = 3^{2(4-x)\cdot(-\frac{1}{2})} + 207$;

$3^{x-1} — 3^{x-3} — 3^{x-4} = 207$;

$3^x \cdot (3^{-1} — 3^{-3} — 3^{-4}) = 207$;

$3^x \cdot \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{27} — \frac{1}{81}\right) = 207$;

$3^x \cdot \frac{23}{81} = 207$;

$3^x = 729$;

$3^x = 3^6$;

$x = 6$;

Ответ: 6.

б) $\text{exception 25:}$$\sqrt[4]{16^{x+1}} + 188 = 8 \cdot 2^x — 0.5^{3-x}$;

$2^{4(x+1)\cdot\frac{1}{4}} + 188 = 2^3 \cdot 2^x — 2^{-(3-x)}$;

$2^{x+3} — 2^{x+1} — 2^{x-3} = 188$;

$2^x \cdot (2^3 — 2^1 — 2^{-3}) = 188$;

$2^x \cdot \left(8 — 2 — \frac{1}{8}\right) = 188$;

$2^x \cdot \frac{47}{8} = 188$;

$2^x = 32$;

$2^x = 2^5$;

$x = 5$;

Ответ: 5.

а)

Уравнение:

$$3^{x-1} — \left(\frac{1}{3}\right)^{3 — x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4 — x}}} + 207$$

Шаг 1: Преобразуем дробные степени

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{3 — x} = 3^{-(3 — x)} = 3^{x — 3}$$ $$\sqrt{\frac{1}{9^{4 — x}}} = \left(9^{4 — x}\right)^{-1/2}$$

Заметим, что $9 = 3^2$, значит:

$$\left(9^{4 — x}\right)^{-1/2} = \left((3^2)^{4 — x}\right)^{-1/2} = \left(3^{2(4 — x)}\right)^{-1/2} = 3^{-(4 — x)} = 3^{x — 4}$$

Шаг 2: Подставим всё обратно

$$3^{x — 1} — 3^{x — 3} = 3^{x — 4} + 207$$

Шаг 3: Переносим все степени в левую часть

$$3^{x — 1} — 3^{x — 3} — 3^{x — 4} = 207$$

Шаг 4: Вынесем общий множитель $3^x$

Представим все с помощью $3^x$:

$$3^{x — 1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^x$$ $$3^{x — 3} = \frac{1}{27} \cdot 3^x$$ $$3^{x — 4} = \frac{1}{81} \cdot 3^x$$

Подставим:

$$3^x \cdot \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{27} — \frac{1}{81} \right) = 207$$

Шаг 5: Приведем дроби к общему знаменателю

Найдем общий знаменатель: 81

$$\frac{1}{3} = \frac{27}{81}, \quad \frac{1}{27} = \frac{3}{81}, \quad \frac{1}{81} = \frac{1}{81}$$ $$\left( \frac{27 — 3 — 1}{81} \right) = \frac{23}{81}$$

Итог:

$$3^x \cdot \frac{23}{81} = 207$$

Шаг 6: Умножим обе части на $\frac{81}{23}$

$$3^x = \frac{207 \cdot 81}{23}$$ $$207 \div 23 = 9, \quad 9 \cdot 81 = 729$$ $$3^x = 729$$

Шаг 7: Представим 729 как степень тройки

$$729 = 3^6 \Rightarrow 3^x = 3^6 \Rightarrow x = 6$$

Ответ: $\boxed{6}$

б)

Уравнение:

$$\sqrt[4]{16^{x + 1}} + 188 = 8 \cdot 2^x — 0.5^{3 — x}$$

Шаг 1: Преобразуем корень слева

$$\sqrt[4]{16^{x + 1}} = \left(16^{x + 1}\right)^{1/4}$$ $$16 = 2^4 \Rightarrow (2^4)^{x + 1} = 2^{4(x + 1)}$$

Значит:

$$\left(2^{4(x + 1)}\right)^{1/4} = 2^{(4(x + 1) \cdot \frac{1}{4})} = 2^{x + 1}$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

$$8 \cdot 2^x = 2^3 \cdot 2^x = 2^{x + 3}$$ $$0.5 = \frac{1}{2} \Rightarrow 0.5^{3 — x} = 2^{-(3 — x)} = 2^{x — 3}$$

Шаг 3: Подставим всё обратно в уравнение

$$2^{x + 1} + 188 = 2^{x + 3} — 2^{x — 3}$$

Шаг 4: Переносим всё в одну сторону

$$2^{x + 3} — 2^{x + 1} — 2^{x — 3} = 188$$

Шаг 5: Вынесем общий множитель $2^x$

$$2^{x + 3} = 2^x \cdot 2^3 = 2^x \cdot 8$$ $$2^{x + 1} = 2^x \cdot 2 = 2^x \cdot 2$$ $$2^{x — 3} = 2^x \cdot 2^{-3} = 2^x \cdot \frac{1}{8}$$

Подставим:

$$2^x \cdot \left(8 — 2 — \frac{1}{8} \right) = 188 \Rightarrow 2^x \cdot \left( \frac{47}{8} \right) = 188$$

Шаг 6: Умножим обе части на $\frac{8}{47}$

$$2^x = \frac{188 \cdot 8}{47}$$ $$188 \div 47 = 4 \Rightarrow 4 \cdot 8 = 32 \Rightarrow 2^x = 32 \Rightarrow 2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5$$

Ответ: $\boxed{5}$