ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $4^x = \frac{1}{16}$;

б) $7^x = \frac{1}{343}$;

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^x = 36$;

г) $0,2^x = 0,00032$

Решить уравнение:

а) $4^x = \frac{1}{16}$;
$\left(\frac{1}{4}\right)^{-x} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$;
$-x = 2$;
$x = -2$;
Ответ: $-2$.

б) $7^x = \frac{1}{343}$;
$\left(\frac{1}{7}\right)^{-x} = \left(\frac{1}{7}\right)^3$;
$-x = 3$;
$x = -3$;
Ответ: $-3$.

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^x = 36$;
$6^{-x} = 6^2$;
$-x = 2$;
$x = -2$;
Ответ: $-2$.

г) $0,2^x = 0,00032$;
$\left(\frac{2}{10}\right)^x = \frac{32}{10\,000}$;
$\left(\frac{2}{10}\right)^x = \left(\frac{2}{10}\right)^5$;
$x = 5$;
Ответ: $5$.

а) $4^x = \dfrac{1}{16}$

Шаг 1: Представим правую часть уравнения как степень числа 4.
Заметим, что $16 = 4^2$, а значит:

$$\dfrac{1}{16} = \dfrac{1}{4^2} = 4^{-2}$$

Шаг 2: Подставим это в исходное уравнение:

$$4^x = 4^{-2}$$

Шаг 3: Основания одинаковые, значит приравниваем показатели степеней:

$$x = -2$$

Ответ: $-2$

б) $7^x = \dfrac{1}{343}$

Шаг 1: Представим правую часть как степень числа 7.
Заметим, что $343 = 7^3$, тогда:

$$\dfrac{1}{343} = \dfrac{1}{7^3} = 7^{-3}$$

Шаг 2: Подставим в уравнение:

$$7^x = 7^{-3}$$

Шаг 3: Основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$x = -3$$

Ответ: $-3$

в) $\left( \dfrac{1}{6} \right)^x = 36$

Шаг 1: Представим левую часть как степень числа 6 с отрицательным показателем.

$$\left( \dfrac{1}{6} \right)^x = 6^{-x}$$

Шаг 2: Представим правую часть как степень числа 6.

$$36 = 6^2$$

Шаг 3: Подставим это в уравнение:

$$6^{-x} = 6^2$$

Шаг 4: Основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$— x = 2 \Rightarrow x = -2$$

Ответ: $-2$

г) $0{,}2^x = 0{,}00032$

Шаг 1: Представим оба числа как дроби:

$$0{,}2 = \dfrac{2}{10}, \quad 0{,}00032 = \dfrac{32}{100000}$$

Шаг 2: Перепишем уравнение:

$$\left( \dfrac{2}{10} \right)^x = \dfrac{32}{100000}$$

Шаг 3: Упростим правую часть:

$$\dfrac{32}{100000} = \left( \dfrac{2}{10} \right)^5$$

Пояснение:

$$\left( \dfrac{2}{10} \right)^5 = \dfrac{2^5}{10^5} = \dfrac{32}{100000}$$

Шаг 4: Подставим это в уравнение:

$$\left( \dfrac{2}{10} \right)^x = \left( \dfrac{2}{10} \right)^5$$

Шаг 5: Основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$x = 5$$

Ответ: $5$