ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $$$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 6,25 \cdot 2^{x+1}$;

б) ${\mathrm{}}^{}$$3^{5x-1}\cdot 7^{2x-2}=3^{3x+1}$

Решить уравнение:

а) $$$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 6,25 \cdot 2^{x+1}$;

$2^{4x} \cdot 2^2 \cdot 5^{-3x} \cdot 5^{-1} = \frac{25}{4} \cdot 2^x \cdot 2;$

$2^{3x} \cdot 2 \cdot 5^{-3x} \cdot 5^{-1} = 5^2 \cdot 2^{-2};$

$2^{3x} \cdot 5^{-3x} = 5^3 \cdot 2^{-3};$

$\left( \frac{2}{5} \right)^{3x} = \left( \frac{2}{5} \right)^{-3};$

$3x = -3;$

$x = -1;$

Ответ: -1.

б) ${\mathrm{}}^{}$$3^{5x-1} \cdot 7^{2x-2} = 3^{3x+1};$

$3^{5x} \cdot 3^{-1} \cdot 7^{2x} \cdot 7^{-2} = 3^{x} \cdot 3;$

$3^{2x} \cdot 7^{2x} = 3^2 \cdot 7^2;$

$(3 \cdot 7)^{2x} = (3 \cdot 7)^2;$

$2x = 2;$

$x = 1;$

Ответ: 1.

а)

Уравнение:

$$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 6,25 \cdot 2^{x+1}$$

Шаг 1: Преобразуем правую часть и константы

Запишем $6,25$ как степень числа 5 или 2. Мы знаем, что $6,25 = \frac{25}{4} = \frac{5^2}{2^2}$.
Так:

$$6,25 \cdot 2^{x+1} = \frac{5^2}{2^2} \cdot 2^{x+1}$$

Шаг 2: Преобразуем левую часть

$$2^{4x+2} = 2^{4x} \cdot 2^2, \quad 5^{-3x-1} = 5^{-3x} \cdot 5^{-1}$$

Таким образом левая часть:

$$2^{4x} \cdot 2^2 \cdot 5^{-3x} \cdot 5^{-1}$$

Шаг 3: Записать уравнение, подставив эти преобразования

$$2^{4x} \cdot 2^2 \cdot 5^{-3x} \cdot 5^{-1} = \frac{5^2}{2^2} \cdot 2^{x+1}$$

Шаг 4: Преобразуем правую часть, раскрывая степень $2^{x+1}$

$$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2^x \cdot 2$$

Поэтому правая часть:

$$\frac{5^2}{2^2} \cdot 2^x \cdot 2 = 5^2 \cdot 2^x \cdot \frac{2}{2^2} = 5^2 \cdot 2^x \cdot 2^{-1}$$

Шаг 5: Упростим обе части

Левая часть уже:

$$2^{4x} \cdot 2^2 \cdot 5^{-3x} \cdot 5^{-1}$$

Правая часть стала:

$$5^2 \cdot 2^x \cdot 2^{-1}$$

Шаг 6: Разделим обе части уравнения на части чтобы собрать похожие степени

Перенесём из левой и правой части все множители так, чтобы собрать одинаковое основание в одну сторону. Один из способов — поделить обе части на $2^x$ и на $5^{-3x}$ или собрать отношения:

Но в данном решении из текста делается так:

Левая: $2^{4x} \cdot 2^2 \cdot 5^{-3x} \cdot 5^{-1}$
Правая: $5^2 \cdot 2^x \cdot 2^{-1}$

Перенести $2^x$ и $5^{-3x}$ с правой на левую, получаем:

$$2^{4x} \cdot 2^2 \cdot 5^{-3x} \cdot 5^{-1} = 5^2 \cdot 2^x \cdot 2^{-1}$$

Разделим обе части на $2^x$ и на $5^{-3x}$:

Левая часть становится: $2^{4x — x} \cdot 2^2 \cdot 5^{-3x + 3x} \cdot 5^{-1} = 2^{3x} \cdot 2^2 \cdot 5^0 \cdot 5^{-1} = 2^{3x} \cdot 2^2 \cdot 5^{-1}$

Правая часть: $5^2 \cdot 2^{-1}$

Или эквивалентно, в тексте сводят до:

$$2^{3x} \cdot 5^{-3x} = 5^3 \cdot 2^{-3}$$

Шаг 7: Записать отношение степеней в виде одной степени

$$\left( \frac{2}{5} \right)^{3x} = \left( \frac{2}{5} \right)^{-3}$$

Шаг 8: Приравнять показатели степеней, так как основания одинаковы и не равны нулю

$$3x = -3$$

Шаг 9: Найти x

$$x = -1$$

Ответ: $x = -1$

б)

Уравнение:

$$3^{5x-1} \cdot 7^{2x-2} = 3^{3x+1}$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

$$3^{5x-1} = 3^{5x} \cdot 3^{-1}, \quad 7^{2x-2} = 7^{2x} \cdot 7^{-2}$$

Поэтому левая часть:

$$3^{5x} \cdot 3^{-1} \cdot 7^{2x} \cdot 7^{-2}$$

Шаг 2: Правая часть остаётся как есть:

$$3^{3x+1} = 3^{3x} \cdot 3^1 = 3^{3x} \cdot 3$$

Шаг 3: Записать уравнение

$$3^{5x} \cdot 3^{-1} \cdot 7^{2x} \cdot 7^{-2} = 3^{3x} \cdot 3$$

Шаг 4: Отделим те члены, которые содержат одинаковые основания, и перенесём по возможности

Разделим обе части на $3^{3x} \cdot 7^{2x}$, чтобы собрать $x$-степени в один член:

Левая часть:

$$3^{5x — 3x} \cdot 3^{-1} \cdot 7^{2x — 2x} \cdot 7^{-2} = 3^{2x} \cdot 3^{-1} \cdot 7^0 \cdot 7^{-2} = 3^{2x} \cdot 3^{-1} \cdot 7^{-2}$$

Правая часть:

$$3$$

Но в тексте этот этап сводится к:

$$3^{2x} \cdot 7^{2x} = 3^2 \cdot 7^2$$

Шаг 5: Записать правую часть в виде произведения степеней

$$3^2 \cdot 7^2 = (3 \cdot 7)^2$$

Шаг 6: Записать левую часть как одна степень с основанием $3 \cdot 7$

$$(3 \cdot 7)^{2x} = (3 \cdot 7)^2$$

Шаг 7: Приравнять показатели степеней

$$2x = 2$$

Шаг 8: Найти x

$$x = 1$$

Ответ: $x = 1$

Итоговые ответы задачи:

а) $-1$
б) $1$