ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3^x = -x — \frac{2}{3}$;

б) $\left( \frac{1}{2} \right)^x = 4x + 6$;

в) $2x + 1{,}8 = -5^x$;

г) $\left( \frac{1}{4} \right)^x = 3x + 1$

Решить уравнение:

а) $3^x = -x — \frac{2}{3}$;

Функция $f(x) = 3^x$ возрастает на $\mathbb{R}$;
Функция $g(x) = -x — \frac{2}{3}$ убывает на $\mathbb{R}$;

Методом перебора найдём пересечение:
$f(-1) = 3^{-1} = \frac{1}{3}$;
$g(-1) = -(-1) — \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$;

Ответ: $-1$.

б) $\left( \frac{1}{2} \right)^x = 4x + 6$;

Функция $f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x$ убывает на $\mathbb{R}$;
Функция $g(x) = 4x + 6$ возрастает на $\mathbb{R}$;

Методом перебора найдём пересечение:
$f(-1) = \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} = 2$;
$g(-1) = 4 \cdot (-1) + 6 = 2$;

Ответ: $-1$.

в) $2x + 1{,}8 = -5^x$;
$5^x = -2x — 1{,}8$;

Функция $f(x) = 5^x$ возрастает на $\mathbb{R}$;
Функция $g(x) = -2x — 1{,}8$ убывает на $\mathbb{R}$;

Методом перебора найдём пересечение:
$f(-1) = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2$;
$g(-1) = -2 \cdot (-1) — 1{,}8 = 0{,}2$;

Ответ: $-1$.

г) $\left( \frac{1}{4} \right)^x = 3x + 1$;

Функция $f(x) = \left( \frac{1}{4} \right)^x$ убывает на $\mathbb{R}$;
Функция $g(x) = 3x + 1$ возрастает на $\mathbb{R}$;

Методом перебора найдём пересечение:
$f(0) = \left( \frac{1}{4} \right)^0 = 1$;
$g(0) = 3 \cdot 0 + 1 = 1$;

Ответ: $0$.

а) $3^x = -x — \frac{2}{3}$

Шаг 1. Анализ функций:

• Левая часть — показательная функция $f(x) = 3^x$, определена на всём $\mathbb{R}$, возрастает, всегда положительна: $f(x) > 0$.
• Правая часть — линейная функция $g(x) = -x — \frac{2}{3}$, определена на всём $\mathbb{R}$, убывает, может принимать любые значения, в том числе положительные.

Шаг 2. Подбором ищем точку пересечения:

Подставим $x = -1$:

• Левая часть: $3^{-1} = \frac{1}{3}$
• Правая часть: $-(-1) — \frac{2}{3} = 1 — \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Обе части равны ⇒ найдено решение.

Ответ: $x = -1$

б) $\left( \frac{1}{2} \right)^x = 4x + 6$

Шаг 1. Анализ функций:

• Левая часть — $f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x = 2^{-x}$, показательная, убывает, $f(x) > 0$.
• Правая часть — $g(x) = 4x + 6$, линейная, возрастает на $\mathbb{R}$.

Графики функции возрастающей и убывающей могут пересекаться максимум в одной точке.

Шаг 2. Подставим $x = -1$:

• Левая часть: $\left( \frac{1}{2} \right)^{-1} = 2$
• Правая часть: $4 \cdot (-1) + 6 = -4 + 6 = 2$

Равенство выполнено ⇒ найдено решение.

Ответ: $x = -1$

в) $2x + 1{,}8 = -5^x$

Шаг 1. Переносим всё в одну сторону:

$2x + 1{,}8 + 5^x = 0 \quad \text{или} \quad 5^x = -2x — 1{,}8$

Шаг 2. Анализ функций:

• Левая часть: $f(x) = 5^x$ — возрастает, $f(x) > 0$
• Правая часть: $g(x) = -2x — 1{,}8$ — линейная, убывает, может быть как положительной, так и отрицательной

Шаг 3. Проверим $x = -1$:

• $f(-1) = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0{,}2$
• $g(-1) = -2 \cdot (-1) — 1{,}8 = 2 — 1{,}8 = 0{,}2$

Обе части равны ⇒ найдено решение.

Ответ: $x = -1$

г) $\left( \frac{1}{4} \right)^x = 3x + 1$

Шаг 1. Анализ функций:

• Левая часть: $f(x) = \left( \frac{1}{4} \right)^x = 4^{-x}$, убывающая, всегда положительна.
• Правая часть: $g(x) = 3x + 1$, возрастает, может быть и положительной, и отрицательной.

Шаг 2. Проверим $x = 0$:

• $f(0) = \left( \frac{1}{4} \right)^0 = 1$
• $g(0) = 3 \cdot 0 + 1 = 1$

Равенство выполнено ⇒ найдено решение.

Ответ: $x = 0$

Окончательные ответы:

а) $x = -1$
б) $x = -1$
в) $x = -1$
г) $x = 0$