ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$3 \cdot 2^{2x} + 6^x — 2 \cdot 3^{2x} = 0 \quad \big| : 3^{2x}$$

б)

$$2\cdot 2^{2x}-3\cdot {10}^x-5\cdot 5^{2x}=0$$

$$2 \cdot 2^{2x} — 3 \cdot 10^x — 5 \cdot 5^{2x} = 0 \quad \big| : 5^{2x}$$ $$\mathrm{}$$в)

$$3^{2x+1}-4\cdot {21}^x-7\cdot 7^{2x}=0$$

$$3^{2x+1} — 4 \cdot 21^x — 7 \cdot 7^{2x} = 0 \quad \big| : 7^{2x}$$ $$\mathrm{}$$г)

$$5\cdot 3^{2x}+7\cdot {15}^x-6\cdot {25}^x=0{}^{}$$

Решить уравнение:

а)

$$3 \cdot 2^{2x} + 6^x — 2 \cdot 3^{2x} = 0 \quad \big| : 3^{2x}$$

$$3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{2x} + \left( \frac{2}{3} \right)^x — 2 = 0$$

Пусть $y = \left( \frac{2}{3} \right)^x$, тогда:

$$3y^2+y-2=0$$

$$3y^2 + y — 2 = 0$$ $$D=1^2+4\cdot 3\cdot 2=1+24=25$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25$$ $$y_1=\frac{-1-5}{2\cdot 3}=-\frac{6}{6}=-1$$

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = -\frac{6}{6} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Первое значение:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=-1$$

$$\left( \frac{2}{3} \right)^x = -1$$ $$x \in \varnothing$$

Второе значение:

$${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=\frac{2}{3}$$

$$\left( \frac{2}{3} \right)^x = \frac{2}{3}$$ $$x = 1$$

Ответ: 1.

б)

$$2\cdot 2^{2x}-3\cdot {10}^x-5\cdot 5^{2x}=0\mid :5^{2x}$$

$$2 \cdot 2^{2x} — 3 \cdot 10^x — 5 \cdot 5^{2x} = 0 \quad \big| : 5^{2x}$$ $$2 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^{2x} — 3 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^x — 5 = 0$$

Пусть $y = \left( \frac{2}{5} \right)^x$, тогда:

$$2y^2-3y-5=0$$

$$2y^2 — 3y — 5 = 0$$ $$D=3^2+4\cdot 2\cdot 5=9+40=49$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49$$ $$y_1=\frac{3-7}{2\cdot 2}=-\frac{4}{4}=-1$$

$$y_1 = \frac{3 — 7}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$

Первое значение:

$${\left(\frac{2}{5}\right)}^x=-1$$

$$\left( \frac{2}{5} \right)^x = -1$$ $$x \in \varnothing$$

Второе значение:

$${\left(\frac{2}{5}\right)}^x=\frac{5}{2}$$

$$\left( \frac{2}{5} \right)^x = \frac{5}{2}$$ $$x = -1$$

Ответ: -1.

в)

$$3^{2x+1}-4\cdot {21}^x-7\cdot 7^{2x}=0\mid :7^{2x}$$

$$3^{2x+1} — 4 \cdot 21^x — 7 \cdot 7^{2x} = 0 \quad \big| : 7^{2x}$$ $$3 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^{2x} — 4 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^x — 7 = 0$$

Пусть $y = \left( \frac{3}{7} \right)^x$, тогда:

$$3y^2-4y-7=0$$

$$3y^2 — 4y — 7 = 0$$ $$D=4^2+4\cdot 3\cdot 7=16+84=100$$

$$D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 + 84 = 100$$ $$y_1=\frac{4-10}{2\cdot 3}=-\frac{6}{6}=-1$$

$$y_1 = \frac{4 — 10}{2 \cdot 3} = -\frac{6}{6} = -1$$ $$y_2 = \frac{4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$

Первое значение:

$${\left(\frac{3}{7}\right)}^x=-1$$

$$\left( \frac{3}{7} \right)^x = -1$$ $$x \in \varnothing$$

Второе значение:

$${\left(\frac{3}{7}\right)}^x=\frac{7}{3}$$

$$\left( \frac{3}{7} \right)^x = \frac{7}{3}$$ $$x = -1$$

Ответ: -1.

г)

$$5\cdot 3^{2x}+7\cdot {15}^x-6\cdot {25}^x=0\mid :5^{2x}$$

$$5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x — 6 \cdot 25^x = 0 \quad \big| : 5^{2x}$$ $$5 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{2x} + 7 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^x — 6 = 0$$

Пусть $y = \left( \frac{3}{5} \right)^x$, тогда:

$$5y^2+7y-6=0$$

$$5y^2 + 7y — 6 = 0$$ $$D=7^2+4\cdot 5\cdot 6=49+120=169$$

$$D = 7^2 + 4 \cdot 5 \cdot 6 = 49 + 120 = 169$$ $$y_1=\frac{-7-13}{2\cdot 5}=-\frac{20}{10}=-2$$

$$y_1 = \frac{-7 — 13}{2 \cdot 5} = -\frac{20}{10} = -2$$ $$y_2 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

Первое значение:

$${\left(\frac{3}{5}\right)}^x=-2$$

$$\left( \frac{3}{5} \right)^x = -2$$ $$x \in \varnothing$$

Второе значение:

$${\left(\frac{3}{5}\right)}^x=\frac{3}{5}$$

$$\left( \frac{3}{5} \right)^x = \frac{3}{5}$$ $$x = 1$$

Ответ: 1.

а) $3 \cdot 2^{2x} + 6^x — 2 \cdot 3^{2x} = 0$

Шаг 1. Представим все степени с одинаковыми основаниями.
Запишем $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$
Оставим остальные степени без изменений.

Получаем:
$3 \cdot 2^{2x} + 2^x \cdot 3^x — 2 \cdot 3^{2x} = 0$

Шаг 2. Разделим уравнение на $3^{2x}$, чтобы получить дробные выражения.
Заметим, что:

$$\frac{2^{2x}}{3^{2x}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2x}, \quad \frac{2^x \cdot 3^x}{3^{2x}} = \left( \frac{2}{3} \right)^x, \quad \frac{3^{2x}}{3^{2x}} = 1$$

Итак:

$$\frac{3 \cdot 2^{2x}}{3^{2x}} + \frac{2^x \cdot 3^x}{3^{2x}} — \frac{2 \cdot 3^{2x}}{3^{2x}} = 0$$

Упростим:

$$3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{2x} + \left( \frac{2}{3} \right)^x — 2 = 0$$

Шаг 3. Замена переменной.
Пусть $y = \left( \frac{2}{3} \right)^x$, тогда $y^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^{2x}$

Получим квадратное уравнение:

$$3y^2 + y — 2 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение.
Дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Шаг 5. Решаем для каждого корня.

Первое:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^x = -1 \Rightarrow \text{Нет решений, так как показательная функция всегда положительна}$$

Второе:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^x = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

б) $2 \cdot 2^{2x} — 3 \cdot 10^x — 5 \cdot 5^{2x} = 0$

Шаг 1. Представим все степени через $2^x$ и $5^x$.
Запишем $10^x = 2^x \cdot 5^x$

Получим:
$2 \cdot 2^{2x} — 3 \cdot 2^x \cdot 5^x — 5 \cdot 5^{2x} = 0$

Шаг 2. Разделим обе части на $5^{2x}$

$$\frac{2 \cdot 2^{2x}}{5^{2x}} — \frac{3 \cdot 2^x \cdot 5^x}{5^{2x}} — \frac{5 \cdot 5^{2x}}{5^{2x}} = 0$$

Упростим:

$$2 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^{2x} — 3 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^x — 5 = 0$$

Шаг 3. Замена переменной.
Пусть $y = \left( \frac{2}{5} \right)^x$, тогда $y^2 = \left( \frac{2}{5} \right)^{2x}$

Получим:

$$2y^2 — 3y — 5 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение.

$$D = (-3)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49$$ $$y_1 = \frac{3 — 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1, \quad y_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$

Шаг 5. Подставляем обратно.

Первое:

$$\left( \frac{2}{5} \right)^x = -1 \Rightarrow \text{Нет решений}$$

Второе:

$$\left( \frac{2}{5} \right)^x = \frac{5}{2} \Rightarrow x = -1$$

Ответ: $\boxed{-1}$

в) $3^{2x+1} — 4 \cdot 21^x — 7 \cdot 7^{2x} = 0$

Шаг 1. Представим степени через $3^x$ и $7^x$.

Запишем:

• $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x}$
• $21^x = (3 \cdot 7)^x = 3^x \cdot 7^x$
• $7^{2x}$ оставим как есть

Получаем:
$3 \cdot 3^{2x} — 4 \cdot 3^x \cdot 7^x — 7 \cdot 7^{2x} = 0$

Шаг 2. Разделим обе части на $7^{2x}$

$$\frac{3 \cdot 3^{2x}}{7^{2x}} — \frac{4 \cdot 3^x \cdot 7^x}{7^{2x}} — \frac{7 \cdot 7^{2x}}{7^{2x}} = 0$$

Упростим:

$$3 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^{2x} — 4 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^x — 7 = 0$$

Шаг 3. Замена переменной.
Пусть $y = \left( \frac{3}{7} \right)^x$, тогда $y^2 = \left( \frac{3}{7} \right)^{2x}$

Получим:

$$3y^2 — 4y — 7 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение.

$$D = (-4)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 + 84 = 100$$ $$y_1 = \frac{4 — 10}{6} = \frac{-6}{6} = -1, \quad y_2 = \frac{4 + 10}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$

Шаг 5. Подставляем обратно.

Первое:

$$\left( \frac{3}{7} \right)^x = -1 \Rightarrow \text{Нет решений}$$

Второе:

$$\left( \frac{3}{7} \right)^x = \frac{7}{3} \Rightarrow x = -1$$

Ответ: $\boxed{-1}$

г) $5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x — 6 \cdot 25^x = 0$

Шаг 1. Представим степени через $3^x$ и $5^x$

• $15^x = 3^x \cdot 5^x$
• $25^x = 5^{2x}$
• $3^{2x}$ оставим как есть

Получим:
$5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 3^x \cdot 5^x — 6 \cdot 5^{2x} = 0$

Шаг 2. Разделим на $5^{2x}$

$$\frac{5 \cdot 3^{2x}}{5^{2x}} + \frac{7 \cdot 3^x \cdot 5^x}{5^{2x}} — \frac{6 \cdot 5^{2x}}{5^{2x}} = 0$$

Упростим:

$$5 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{2x} + 7 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^x — 6 = 0$$

Шаг 3. Замена переменной.
Пусть $y = \left( \frac{3}{5} \right)^x$, тогда $y^2 = \left( \frac{3}{5} \right)^{2x}$

Получим:

$$5y^2 + 7y — 6 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение.

$$D = 7^2 + 4 \cdot 5 \cdot 6 = 49 + 120 = 169$$ $$y_1 = \frac{-7 — 13}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2, \quad y_2 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

Шаг 5. Подставляем обратно.

Первое:

$$\left( \frac{3}{5} \right)^x = -2 \Rightarrow \text{Нет решений}$$

Второе:

$$\left( \frac{3}{5} \right)^x = \frac{3}{5} \Rightarrow x = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$