ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$4(\sqrt{5}-2{)}^{x-12}={\left(\frac{2}{\sqrt{5}+2}\right)}^{x-12}$$

б)

$$9(3-\sqrt{8}{)}^{2x+1}={\left(\frac{3}{3+\sqrt{8}}\right)}^{2x+1}$$

Решить уравнение:

а)

$$4(\sqrt{5}-2{)}^{x-12}={\left(\frac{2}{\sqrt{5}+2}\right)}^{x-12}$$

$$4(\sqrt{5} — 2)^{x-12} = \left( \frac{2}{\sqrt{5} + 2} \right)^{x-12}$$ $$2^2\cdot {((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2))}^{x-12}=2^{x-12}$$

$$2^2 \cdot \left( (\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2) \right)^{x-12} = 2^{x-12}$$ $$2^2\cdot (5-4{)}^{x-12}=2^{x-12}$$

$$2^2 \cdot (5 — 4)^{x-12} = 2^{x-12}$$ $$2^{x-12}=2^2$$

$$2^{x-12} = 2^2$$ $$x-12=2$$

$$x — 12 = 2$$ $$x = 14$$

Ответ: 14.

б)

$$9(3 — \sqrt{8})^{2x+1} = \left( \frac{3}{3 + \sqrt{8}} \right)^{2x+1}$$

$$3^2\cdot {((3-\sqrt{8})(3+\sqrt{8}))}^{2x+1}=3^{2x+1}$$

$$3^2 \cdot \left( (3 — \sqrt{8})(3 + \sqrt{8}) \right)^{2x+1} = 3^{2x+1}$$ $$3^2\cdot (9-8{)}^{2x+1}=3^{2x+1}$$

$$3^2 \cdot (9 — 8)^{2x+1} = 3^{2x+1}$$ $$3^{2x+1}=3^2$$

$$3^{2x+1} = 3^2$$ $$2x+1=2$$

$$2x + 1 = 2$$ $$2x=1$$

$$2x = 1$$ $$x = 0{,}5$$

Ответ: 0,5.

а)

$$4(\sqrt{5} — 2)^{x — 12} = \left( \frac{2}{\sqrt{5} + 2} \right)^{x — 12}$$

Шаг 1: Представим 4 как степень двойки

$$4 = 2^2$$

Запишем уравнение так:

$$2^2 \cdot (\sqrt{5} — 2)^{x — 12} = \left( \frac{2}{\sqrt{5} + 2} \right)^{x — 12}$$

Шаг 2: Представим правую часть как произведение

$$\left( \frac{2}{\sqrt{5} + 2} \right)^{x — 12} = 2^{x — 12} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{5} + 2} \right)^{x — 12}$$

Аналогично, запишем левую часть:

$$2^2 \cdot (\sqrt{5} — 2)^{x — 12}$$

Шаг 3: Используем формулу сокращённого умножения

Заметим, что:

$$(\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2) = 5 — 4 = 1$$

Итак:

$$\left( \frac{1}{\sqrt{5} + 2} \right) = \frac{\sqrt{5} — 2}{1} = \sqrt{5} — 2$$

То есть:

$$\left( \frac{2}{\sqrt{5} + 2} \right)^{x — 12} = 2^{x — 12} \cdot (\sqrt{5} — 2)^{x — 12}$$

Шаг 4: Приравниваем обе части

Левая часть:

$$2^2 \cdot (\sqrt{5} — 2)^{x — 12}$$

Правая часть:

$$2^{x — 12} \cdot (\sqrt{5} — 2)^{x — 12}$$

Обе части содержат множитель $(\sqrt{5} — 2)^{x — 12}$, который не равен нулю и положителен при любом $x$. Упростим уравнение:

$$2^2 = 2^{x — 12}$$

Шаг 5: Приравниваем показатели степеней

$$x — 12 = 2 \Rightarrow x = 14$$

Ответ: $\boxed{14}$

б)

$$9(3 — \sqrt{8})^{2x + 1} = \left( \frac{3}{3 + \sqrt{8}} \right)^{2x + 1}$$

Шаг 1: Представим 9 как степень тройки

$$9 = 3^2 \Rightarrow 3^2 \cdot (3 — \sqrt{8})^{2x + 1} = \left( \frac{3}{3 + \sqrt{8}} \right)^{2x + 1}$$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

$$\left( \frac{3}{3 + \sqrt{8}} \right)^{2x + 1} = 3^{2x + 1} \cdot \left( \frac{1}{3 + \sqrt{8}} \right)^{2x + 1}$$

Аналогично, в левой части:

$$3^2 \cdot (3 — \sqrt{8})^{2x + 1}$$

Шаг 3: Заметим связь между $3 — \sqrt{8}$ и $3 + \sqrt{8}$

$$(3 — \sqrt{8})(3 + \sqrt{8}) = 9 — 8 = 1 \Rightarrow \frac{1}{3 + \sqrt{8}} = 3 — \sqrt{8}$$

Следовательно:

$$\left( \frac{3}{3 + \sqrt{8}} \right)^{2x + 1} = 3^{2x + 1} \cdot (3 — \sqrt{8})^{2x + 1}$$

Шаг 4: Приравниваем обе части

Левая часть:

$$3^2 \cdot (3 — \sqrt{8})^{2x + 1}$$

Правая часть:

$$3^{2x + 1} \cdot (3 — \sqrt{8})^{2x + 1}$$

Обе части содержат $(3 — \sqrt{8})^{2x + 1}$, можно сократить (при $x \in \mathbb{R}$, выражение положительно)

Остаётся:

$$3^2 = 3^{2x + 1}$$

Шаг 5: Приравниваем степени

$$2 = 2x + 1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0{,}5$$

Ответ: $\boxed{0{,}5}$