ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$3^{x-1}-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{3-x}=\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}}+207;$$

б)

$$\sqrt[4]{{16}^{x+1}}+188=8\cdot 2^x-{\mathrm{0,5}}^{3-x}$$

Решить уравнение:

а)

$$3^{x-1}-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{3-x}=\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}}+207;$$

$$3^{x-1} — \left(\frac{1}{3}\right)^{3 — x} = \sqrt{\frac{1}{9^{4 — x}}} + 207;$$ $$3^{x-1}-3^{-(3-x)}=3^{-\frac{1}{2}(4-x)\cdot 2}+207;$$

$$3^{x-1} — 3^{-(3 — x)} = 3^{-\frac{1}{2}(4 — x) \cdot 2} + 207;$$ $$3^{x-1}-3^{x-3}-3^{x-4}=207;$$

$$3^{x-1} — 3^{x — 3} — 3^{x — 4} = 207;$$ $$3^x\cdot (3^{-1}-3^{-3}-3^{-4})=207;$$

$$3^x \cdot (3^{-1} — 3^{-3} — 3^{-4}) = 207;$$ $$3^x\cdot (\frac{1}{3}-\frac{1}{27}-\frac{1}{81})=207;$$

$$3^x \cdot \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{27} — \frac{1}{81}\right) = 207;$$ $$3^x\cdot \frac{23}{81}=207;$$

$$3^x \cdot \frac{23}{81} = 207;$$ $$3^x=729;$$

$$3^x = 729;$$ $$3^x=3^6;$$

$$3^x = 3^6;$$ $$x = 6;$$

Ответ: 6.

б)

$$\sqrt[4]{{16}^{x+1}}+188=8\cdot 2^x-{\mathrm{0,5}}^{3-x};$$

$$\sqrt[4]{16^{x + 1}} + 188 = 8 \cdot 2^x — 0{,}5^{3 — x};$$ $$2^{\frac{1}{2}(x+1)\cdot 4}+188=2^3\cdot 2^x-2^{-(3-x)};$$

$$2^{\frac{1}{2}(x + 1) \cdot 4} + 188 = 2^3 \cdot 2^x — 2^{-(3 — x)};$$ $$2^{x+3}-2^{x-3}-2^{x+1}=188;$$

$$2^{x + 3} — 2^{x — 3} — 2^{x + 1} = 188;$$ $$2^x\cdot (2^3-2^{-3}-2)=188;$$

$$2^x \cdot (2^3 — 2^{-3} — 2) = 188;$$ $$2^x\cdot (8-\frac{1}{8}-2)=188;$$

$$2^x \cdot \left(8 — \frac{1}{8} — 2\right) = 188;$$ $$2^x\cdot \frac{47}{8}=188;$$

$$2^x \cdot \frac{47}{8} = 188;$$ $$2^x=32;$$

$$2^x = 32;$$ $$2^x=2^5;$$

$$2^x = 2^5;$$ $$x = 5;$$

Ответ: 5.

а)

$$3^{x-1} — \left( \frac{1}{3} \right)^{3 — x} = \sqrt{ \frac{1}{9^{4 — x}} } + 207$$

Шаг 1: Преобразуем все выражения в степени числа 3

Напомним:

• $\frac{1}{3^a} = 3^{-a}$
• $9 = 3^2$, следовательно $9^a = (3^2)^a = 3^{2a}$
• Корень: $\sqrt{3^a} = 3^{a/2}$

Шаг 2: Преобразуем правую часть

$$\sqrt{ \frac{1}{9^{4 — x}} } = \sqrt{ 3^{-2(4 — x)} } = 3^{- (4 — x)} = 3^{x — 4}$$

Шаг 3: Перепишем всё уравнение

$$3^{x — 1} — \left( \frac{1}{3} \right)^{3 — x} = 3^{x — 4} + 207$$

Преобразуем второе слагаемое слева:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^{3 — x} = 3^{-(3 — x)} = 3^{x — 3}$$

Теперь уравнение:

$$3^{x — 1} — 3^{x — 3} = 3^{x — 4} + 207$$

Шаг 4: Все слагаемые перенесём в одну часть

$$3^{x — 1} — 3^{x — 3} — 3^{x — 4} = 207$$

Шаг 5: Вынесем общий множитель $3^x$

Заметим:

• $3^{x — 1} = 3^x \cdot 3^{-1}$
• $3^{x — 3} = 3^x \cdot 3^{-3}$
• $3^{x — 4} = 3^x \cdot 3^{-4}$

Подставим:

$$3^x \cdot \left( 3^{-1} — 3^{-3} — 3^{-4} \right) = 207$$

Шаг 6: Вычислим значения в скобках

$$3^{-1} = \frac{1}{3}, \quad 3^{-3} = \frac{1}{27}, \quad 3^{-4} = \frac{1}{81}$$ $$\frac{1}{3} — \frac{1}{27} — \frac{1}{81}$$

Приведём к общему знаменателю 81:

$$\frac{27}{81} — \frac{3}{81} — \frac{1}{81} = \frac{23}{81}$$

Шаг 7: Подставим в уравнение

$$3^x \cdot \frac{23}{81} = 207$$

Шаг 8: Умножим обе части на $\frac{81}{23}$

$$3^x = \frac{207 \cdot 81}{23}$$

Посчитаем:

$$207 \cdot 81 = (200 + 7) \cdot 81 = 200 \cdot 81 + 7 \cdot 81 = 16200 + 567 = 16767$$ $$\frac{16767}{23} = 729$$

Шаг 9: Представим 729 как степень тройки

$$3^x = 729 = 3^6 \Rightarrow x = 6$$

Ответ: $\boxed{6}$

б)

$$\sqrt[4]{16^{x + 1}} + 188 = 8 \cdot 2^x — 0{,}5^{3 — x}$$

Шаг 1: Перепишем корень и степени

• $16 = 2^4 \Rightarrow 16^{x + 1} = (2^4)^{x + 1} = 2^{4(x + 1)}$
• $\sqrt[4]{2^{4(x + 1)}} = 2^{x + 1}$
• $8 = 2^3$
• $0{,}5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \Rightarrow 0{,}5^{3 — x} = 2^{-(3 — x)} = 2^{x — 3}$

Шаг 2: Перепишем уравнение

$$2^{x + 1} + 188 = 2^3 \cdot 2^x — 2^{x — 3}$$ $$2^{x + 1} + 188 = 2^{x + 3} — 2^{x — 3}$$

Шаг 3: Перенесём всё в одну сторону

$$2^{x + 3} — 2^{x — 3} — 2^{x + 1} = 188$$

Шаг 4: Вынесем общий множитель $2^x$

$$2^x \cdot (2^3 — 2^{-3} — 2^1) = 188$$ $$2^x \cdot (8 — \frac{1}{8} — 2) = 188$$

Шаг 5: Вычислим скобки

$$8 — \frac{1}{8} — 2 = 6 — \frac{1}{8} = \frac{48 — 1}{8} = \frac{47}{8}$$

Шаг 6: Подставим в уравнение

$$2^x \cdot \frac{47}{8} = 188$$

Шаг 7: Домножим обе части на $\frac{8}{47}$

$$2^x = \frac{188 \cdot 8}{47}$$ $$188 \cdot 8 = 1504 \Rightarrow 2^x = \frac{1504}{47} = 32$$

Шаг 8: Представим 32 как степень двойки

$$32 = 2^5 \Rightarrow x = 5$$

Ответ: $\boxed{5}$