ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$24\cdot 3^{2x^2-3x-2}-2\cdot 3^{2x^2-3x}+3^{2x^2-3x-1}=9;$$

б)

$$5\cdot 2^{x^2+5x+7}+2^{x^2+5x+9}-2^{x^2+5x+10}=2$$

Решить уравнение:

а)

$$24\cdot 3^{2x^2-3x-2}-2\cdot 3^{2x^2-3x}+3^{2x^2-3x-1}=9;$$

$$24 \cdot 3^{2x^2 — 3x — 2} — 2 \cdot 3^{2x^2 — 3x} + 3^{2x^2 — 3x — 1} = 9;$$ $$3^{2x^2-3x-2}\cdot (24-2\cdot 3^2+3)=9;$$

$$3^{2x^2 — 3x — 2} \cdot (24 — 2 \cdot 3^2 + 3) = 9;$$ $$3^{2x^2-3x-2}\cdot (27-2\cdot 9)=9;$$

$$3^{2x^2 — 3x — 2} \cdot (27 — 2 \cdot 9) = 9;$$ $$3^{2x^2-3x-2}\cdot 9=9;$$

$$3^{2x^2 — 3x — 2} \cdot 9 = 9;$$ $$3^{2x^2-3x-2}=1;$$

$$3^{2x^2 — 3x — 2} = 1;$$ $$2x^2-3x-2=0;$$

$$2x^2 — 3x — 2 = 0;$$ $$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=9+16=25,\text{ тогда:}$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0{,}5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$$

Ответ: $-0{,}5;\ 2$.

б)

$$5\cdot 2^{x^2+5x+7}+2^{x^2+5x+9}-2^{x^2+5x+10}=2;$$

$$5 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} + 2^{x^2 + 5x + 9} — 2^{x^2 + 5x + 10} = 2;$$ $$2^{x^2+5x+7}\cdot (5+2^2-2^3)=2;$$

$$2^{x^2 + 5x + 7} \cdot (5 + 2^2 — 2^3) = 2;$$ $$2^{x^2+5x+7}\cdot (5+4-8)=2;$$

$$2^{x^2 + 5x + 7} \cdot (5 + 4 — 8) = 2;$$ $$2^{x^2+5x+7}\cdot 1=2;$$

$$2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 1 = 2;$$ $$2^{x^2+5x+7}=2;$$

$$2^{x^2 + 5x + 7} = 2;$$ $$x^2+5x+7=1;$$

$$x^2 + 5x + 7 = 1;$$ $$x^2+5x+6=0;$$

$$x^2 + 5x + 6 = 0;$$ $$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1,\text{ тогда:}$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2;$$

Ответ: $-3;\ -2$.

а)

$$24 \cdot 3^{2x^2 — 3x — 2} — 2 \cdot 3^{2x^2 — 3x} + 3^{2x^2 — 3x — 1} = 9$$

Шаг 1: Вынесем общий множитель

Заметим, что:

• все степени выражаются через $3^{2x^2 — 3x — 2}$,
• поэтому вынесем $3^{2x^2 — 3x — 2}$ за скобки.

Для этого перепишем каждое слагаемое как кратное $3^{2x^2 — 3x — 2}$:

1. $3^{2x^2 — 3x} = 3^{(2x^2 — 3x — 2) + 2} = 3^2 \cdot 3^{2x^2 — 3x — 2}$
2. $3^{2x^2 — 3x — 1} = 3 \cdot 3^{2x^2 — 3x — 2}$

Теперь уравнение перепишется как:

$$24 \cdot 3^{2x^2 — 3x — 2} — 2 \cdot 3^2 \cdot 3^{2x^2 — 3x — 2} + 3 \cdot 3^{2x^2 — 3x — 2} = 9$$

Шаг 2: Вынесем $3^{2x^2 — 3x — 2}$

$$3^{2x^2 — 3x — 2} \cdot \left(24 — 2 \cdot 9 + 3\right) = 9$$

Шаг 3: Вычислим выражение в скобках

$$24 — 18 + 3 = 9$$

Получаем:

$$3^{2x^2 — 3x — 2} \cdot 9 = 9$$

Шаг 4: Разделим обе части на 9

$$3^{2x^2 — 3x — 2} = 1$$

Шаг 5: Когда степень тройки равна 1?

$$3^a = 1 \Rightarrow a = 0 \Rightarrow 2x^2 — 3x — 2 = 0$$

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$ $$x_1 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0{,}5$$ $$x_2 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Ответ: $\boxed{-0{,}5;\ 2}$

б)

$$5 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} + 2^{x^2 + 5x + 9} — 2^{x^2 + 5x + 10} = 2$$

Шаг 1: Обозначим степень

Пусть $A = x^2 + 5x + 7$

Тогда:

• $2^{x^2 + 5x + 9} = 2^{A + 2} = 2^2 \cdot 2^A$
• $2^{x^2 + 5x + 10} = 2^{A + 3} = 2^3 \cdot 2^A$

Теперь уравнение:

$$5 \cdot 2^A + 2^2 \cdot 2^A — 2^3 \cdot 2^A = 2$$

Шаг 2: Вынесем общий множитель $2^A$

$$2^A \cdot (5 + 4 — 8) = 2$$ $$2^A \cdot 1 = 2 \Rightarrow 2^A = 2$$

Шаг 3: Решим показательное уравнение

$$2^A = 2 \Rightarrow A = 1$$

Шаг 4: Подставим $A = x^2 + 5x + 7$

$$x^2 + 5x + 7 = 1 \Rightarrow x^2 + 5x + 6 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$ $$x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3 \quad x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$

Ответ: $\boxed{-3;\ -2}$