ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $18^x — 8 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^x = 0$;

б) $12^x — 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$

а) $18^x — 8 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^x = 0$;
$2^x \cdot (9^x — 8 \cdot 3^x — 9) = 0$;
$3^{2x} — 8 \cdot 3^x — 9 = 0$;

Пусть $y = 3^x$, тогда:
$y^2 — 8y — 9 = 0$;
$D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100$, тогда:
$y_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9$;

Первое значение:
$3^x = -1$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$3^x = 9$;
$x = 2$;

Ответ: 2.

б) $12^x — 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$;
$3^x \cdot (4^x — 6 \cdot 2^x + 8) = 0$;
$2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0$;

Пусть $y = 2^x$, тогда:
$y^2 — 6y + 8 = 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$, тогда:
$y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$;

Первое значение:
$2^x = 2$;
$x = 1$;

Второе значение:
$2^x = 4$;
$x = 2$;

Ответ: 1; 2.

а) Решим уравнение:

$$18^x — 8 \cdot 6^x — 9 \cdot 2^x = 0$$

Шаг 1. Представим все степени через простые множители.

Разложим основания на простые множители:

• $18 = 2 \cdot 3^2$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $9 = 3^2$

Тогда:

$$18^x = (2 \cdot 3^2)^x = 2^x \cdot 3^{2x}$$ $$6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$$ $$9 \cdot 2^x = 9 \cdot 2^x = 3^2 \cdot 2^x$$

Подставим в исходное уравнение:

$$2^x \cdot 3^{2x} — 8 \cdot (2^x \cdot 3^x) — 9 \cdot 2^x = 0$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель $2^x$:

$$2^x \cdot \left(3^{2x} — 8 \cdot 3^x — 9\right) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $2^x = 0$ — невозможно, так как $2^x > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$
2. $3^{2x} — 8 \cdot 3^x — 9 = 0$

Рассмотрим второе уравнение.

Шаг 3. Замена переменной:

Пусть $y = 3^x$, тогда:

$$3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$$

Подставим:

$$y^2 — 8y — 9 = 0$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение:

Найдём дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$

Корни уравнения:

$$y_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}$$ $$y_1 = \frac{8 — 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $x$:

Решим:

1. $3^x = -1$ — нет решений, так как $3^x > 0$ при любом $x$
2. $3^x = 9$.
   Распишем: $9 = 3^2$, значит:

$$3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2$$

Ответ: $x = 2$

б) Решим уравнение:

$$12^x — 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$$

Шаг 1. Представим всё через простые множители:

• $12 = 3 \cdot 2^2$, значит $12^x = (3 \cdot 2^2)^x = 3^x \cdot 2^{2x}$
• $6 = 2 \cdot 3$, значит $6^{x+1} = (2 \cdot 3)^{x+1} = 2^{x+1} \cdot 3^{x+1} = 2^x \cdot 3^x \cdot 2 \cdot 3 = 6 \cdot 2^x \cdot 3^x$
• $8 \cdot 3^x$ оставим как есть.

Теперь подставим:

$$3^x \cdot 2^{2x} — 6 \cdot 2^x \cdot 3^x + 8 \cdot 3^x = 0$$

Шаг 2. Вынесем $3^x$ как общий множитель:

$$3^x \cdot \left(2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8\right) = 0$$

Аналогично, это произведение равно нулю, если:

1. $3^x = 0$ — невозможно, так как $3^x > 0$
2. $2^{2x} — 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Шаг 3. Замена переменной:

Пусть $y = 2^x$, тогда $2^{2x} = (2^x)^2 = y^2$

Получим квадратное уравнение:

$$y^2 — 6y + 8 = 0$$

Шаг 4. Найдём дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$$ $$y_1 = \frac{6 — 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Шаг 5. Возвращаемся к $x$:

1. $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$
2. $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$, так как $4 = 2^2$

Ответ: $x = 1; 2$

Окончательные ответы:
а) $x = 2$
б) $x = 1; 2$