ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^{x^2+2x-6} — 2^{7-2x-x^2} = 3,5$;

б) $3^{2x^2+x} = 26 + 3^{3-x-2x^2}$

Решить уравнение:

а) $2^{x^2+2x-6} — 2^{7-2x-x^2} = 3,5$;

$2 \cdot 2^{x^2+2x-7} — \frac{1}{2^{x^2-2x-7}} = 3,5$;

Пусть $y = 2^{x^2+2x-7}$, тогда:

$2y — \frac{1}{y} = 3,5 \quad | \cdot 2y$;

$4y^2 — 2 = 7y$;

$4y^2 — 7y — 2 = 0$;

$D = 7^2 + 4 \cdot 4 \cdot 2 = 49 + 32 = 81$, тогда:

$y_1 = \frac{7 — 9}{2 \cdot 4} = -\frac{2}{8} = -0,25$;

$y_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$;

Первое значение:
$2^{x^2+2x-7} = -0,25$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$2^{x^2+2x-7} = 2$;
$x^2 + 2x — 7 = 1$;
$x^2 + 2x — 8 = 0$;
$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36$, тогда:
$x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$;

Ответ: $-4; 2$.

б) $3^{2x^2+x} = 26 + 3^{3-x-2x^2}$;

$3^{2x^2+x-3} \cdot 3^3 = 26 + \frac{1}{3^{2x^2+x-3}}$;

Пусть $y = 3^{2x^2+x-3}$, тогда:

$27y = 26 + \frac{1}{y} \quad | \cdot y$;

$27y^2 = 26y + 1$;
$27y^2 — 26y — 1 = 0$;

$D = 26^2 + 4 \cdot 27 = 676 + 108 = 784$, тогда:

$y_1 = \frac{26 — 28}{2 \cdot 27} = -\frac{2}{2 \cdot 27} = -\frac{1}{27}$;
$y_2 = \frac{26 + 28}{2 \cdot 27} = \frac{54}{54} = 1$;

Первое значение:
$3^{2x^2+x-3} = -\frac{1}{27}$;
$x \in \varnothing$;

Второе значение:
$3^{2x^2+x-3} = 1$;
$2x^2 + x — 3 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1,5$;
$x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$;

Ответ: $-1,5; 1$.

а)

Решим уравнение:

$$2^{x^2 + 2x — 6} — 2^{7 — 2x — x^2} = 3{,}5$$

Шаг 1. Упрощение степеней

Рассмотрим второе слагаемое:

$$7 — 2x — x^2 = -(x^2 + 2x — 7)$$

Пояснение:

$$7 — 2x — x^2 = — (x^2 + 2x — 7)$$

Проверим:

$$— (x^2 + 2x — 7) = -x^2 — 2x + 7 = 7 — 2x — x^2$$

Теперь обе степени выражаются через одно и то же выражение:

• Первая степень: $2^{x^2 + 2x — 6} = 2 \cdot 2^{x^2 + 2x — 7}$
• Вторая степень: $2^{7 — 2x — x^2} = \frac{1}{2^{x^2 + 2x — 7}}$

Пояснение:

$$2^{x^2 + 2x — 6} = 2^{(x^2 + 2x — 7) + 1} = 2 \cdot 2^{x^2 + 2x — 7}$$ $$2^{7 — 2x — x^2} = 2^{- (x^2 + 2x — 7)} = \frac{1}{2^{x^2 + 2x — 7}}$$

Теперь уравнение преобразуется:

$$2 \cdot 2^{x^2 + 2x — 7} — \frac{1}{2^{x^2 + 2x — 7}} = 3{,}5$$

Шаг 2. Замена переменной

Пусть:

$$y = 2^{x^2 + 2x — 7}$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$2y — \frac{1}{y} = 3{,}5$$

Шаг 3. Избавляемся от дроби

Умножим обе части уравнения на $y$ (при $y \neq 0$):

$$(2y — \frac{1}{y}) \cdot y = 3{,}5 \cdot y$$ $$2y^2 — 1 = 3{,}5y$$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$$4y^2 — 2 = 7y$$

Переносим всё в одну сторону:

$$4y^2 — 7y — 2 = 0$$

Шаг 4. Решение квадратного уравнения

Уравнение:

$$4y^2 — 7y — 2 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 \pm 9}{8}$$

1. $y_1 = \frac{7 — 9}{8} = \frac{-2}{8} = -0{,}25$
2. $y_2 = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2$

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $x$

Первое значение:

$$2^{x^2 + 2x — 7} = -0{,}25$$

Это невозможно, поскольку степень двойки всегда положительна:

$$2^a > 0 \quad \text{при любом } a \in \mathbb{R}$$

Следовательно, $x \in \varnothing$

Второе значение:

$$2^{x^2 + 2x — 7} = 2 \Rightarrow x^2 + 2x — 7 = 1$$

Решим уравнение:

$$x^2 + 2x — 8 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

Корни:

$$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$$

1. $x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
2. $x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ к пункту а:

$$x = -4;\quad x = 2$$

б)

Решим уравнение:

$$3^{2x^2 + x} = 26 + 3^{3 — x — 2x^2}$$

Шаг 1. Упрощаем степени

Рассмотрим степень второго показателя:

$$3 — x — 2x^2 = -(2x^2 + x — 3)$$

Проверим:

$$-(2x^2 + x — 3) = -2x^2 — x + 3 = 3 — x — 2x^2$$

Теперь:

$$3^{2x^2 + x} = 26 + 3^{-(2x^2 + x — 3)} = 26 + \frac{1}{3^{2x^2 + x — 3}}$$

Представим левую часть:

$$3^{2x^2 + x} = 3^3 \cdot 3^{2x^2 + x — 3} = 27 \cdot 3^{2x^2 + x — 3}$$

Теперь уравнение:

$$27 \cdot 3^{2x^2 + x — 3} = 26 + \frac{1}{3^{2x^2 + x — 3}}$$

Шаг 2. Замена переменной

Пусть:

$$y = 3^{2x^2 + x — 3}$$

Уравнение становится:

$$27y = 26 + \frac{1}{y}$$

Шаг 3. Избавимся от дроби

Умножим обе части на $y$ (при $y \neq 0$):

$$27y^2 = 26y + 1$$

Приведём к квадратному уравнению:

$$27y^2 — 26y — 1 = 0$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение

$$D = (-26)^2 — 4 \cdot 27 \cdot (-1) = 676 + 108 = 784$$ $$y_{1,2} = \frac{26 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 27} = \frac{26 \pm 28}{54}$$

1. $y_1 = \frac{26 — 28}{54} = \frac{-2}{54} = -\frac{1}{27}$
2. $y_2 = \frac{26 + 28}{54} = \frac{54}{54} = 1$

Шаг 5. Возвращаемся к $x$

Первое значение:

$$3^{2x^2 + x — 3} = -\frac{1}{27}$$

Нет решений: $3^a > 0$ при любом $a \in \mathbb{R}$

$$x \in \varnothing$$

Второе значение:

$$3^{2x^2 + x — 3} = 1 \Rightarrow 2x^2 + x — 3 = 0$$

Решим:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$ $$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$$

1. $x_1 = \frac{-1 — 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1{,}5$
2. $x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Ответ к пункту б:

$$x = -1{,}5;\quad x = 1$$

Окончательные ответы:

а) $x = -4;\; 2$
б) $x = -1{,}5;\; 1$