ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $5^{2x^2 — 1} — 3 \cdot 5^{(x+1)(x+2)} = 2 \cdot 5^{6(x+1)}$;

б) $3^{2x^2 — 1} — 3^{(x-1)(x+5)} = 2 \cdot 3^{8(x-1)}$

Решить уравнение:

а) $5^{2x^2 — 1} — 3 \cdot 5^{(x+1)(x+2)} = 2 \cdot 5^{6(x+1)}$;
$5^{2x^2 — 1} — 3 \cdot 5^{x^2 + 3x + 2} = 2 \cdot 5^{6x + 6} \quad | : 5^{6x + 6}$,
$5^{2x^2 — 6x — 7} — 3 \cdot 5^{x^2 — 3x — 4} = 2$;
$5 \cdot 5^{2(x^2 — 3x — 4)} — 3 \cdot 5^{x^2 — 3x — 4} — 2 = 0$;

Пусть $y = 5^{x^2 — 3x — 4}$, тогда:
$5y^2 — 3y — 2 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 + 40 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{3 — 7}{2 \cdot 5} = -\frac{4}{10} = -0,4$;
$y_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$;

Первое значение:
$5^{x^2 — 3x — 4} = -0,4$;
$x \in \emptyset$;

Второе значение:
$5^{x^2 — 3x — 4} = 1$;
$x^2 — 3x — 4 = 0$;
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:
$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$;

Ответ: $-1; 4$.

б) $3^{2x^2 — 1} — 3^{(x-1)(x+5)} = 2 \cdot 3^{8(x-1)}$;
$3^{2x^2 — 1} — 3^{x^2 + 4x — 5} = 2 \cdot 3^{8x — 8} \quad | : 3^{8x — 8}$,
$3^{2x^2 — 8x + 7} — 3^{x^2 — 4x + 3} = 2$;
$3 \cdot 3^{2(x^2 — 4x + 3)} — 3^{x^2 — 4x + 3} — 2 = 0$;

Пусть $y = 3^{x^2 — 4x + 3}$, тогда:
$3y^2 — y — 2 = 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25$, тогда:
$y_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 3} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$;
$y_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$;

Первое значение:
$3^{x^2 — 4x + 3} = -\frac{2}{3}$;
$x \in \emptyset$;

Второе значение:
$3^{x^2 — 4x + 3} = 1$;
$x^2 — 4x + 3 = 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:
$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$;

Ответ: $1; 3$.

а)

Решим уравнение:

$$5^{2x^2 — 1} — 3 \cdot 5^{(x+1)(x+2)} = 2 \cdot 5^{6(x+1)}$$

Шаг 1. Раскроем скобки в показателях степеней

Вычислим:

$$(x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2$$ $$6(x + 1) = 6x + 6$$

Теперь уравнение:

$$5^{2x^2 — 1} — 3 \cdot 5^{x^2 + 3x + 2} = 2 \cdot 5^{6x + 6}$$

Шаг 2. Разделим обе части на $5^{6x + 6}$

Цель — упростить уравнение, представив всё в виде степеней с одинаковым основанием.

Поделим каждое слагаемое на $5^{6x + 6}$:

$$\frac{5^{2x^2 — 1}}{5^{6x + 6}} = 5^{2x^2 — 1 — 6x — 6} = 5^{2x^2 — 6x — 7}$$

$$\frac{5^{x^2 + 3x + 2}}{5^{6x + 6}} = 5^{x^2 + 3x + 2 — 6x — 6} = 5^{x^2 — 3x — 4}$$

Правая часть:

$$\frac{2 \cdot 5^{6x + 6}}{5^{6x + 6}} = 2$$

Итак, уравнение становится:

$$5^{2x^2 — 6x — 7} — 3 \cdot 5^{x^2 — 3x — 4} = 2$$

Шаг 3. Подготовка к замене

Рассмотрим выражения в показателях степеней:

Обозначим:

$$y = 5^{x^2 — 3x — 4}$$

Тогда:

$$5^{2x^2 — 6x — 7} = 5^{2(x^2 — 3x — 4) + 1} = 5 \cdot (5^{x^2 — 3x — 4})^2 = 5y^2$$

Пояснение:

$$2x^2 — 6x — 8 = 2(x^2 — 3x — 4) \Rightarrow 2x^2 — 6x — 8 + 1 = 2x^2 — 6x — 7$$

Таким образом, уравнение становится:

$$5y^2 — 3y = 2 \Rightarrow 5y^2 — 3y — 2 = 0$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение

Уравнение:

$$5y^2 — 3y — 2 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 \pm 7}{10}$$

$$y_1 = \frac{3 — 7}{10} = \frac{-4}{10} = -0{,}4$$

$$y_2 = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$$

Шаг 5. Возврат к переменной $x$

Первый корень:

$$y = 5^{x^2 — 3x — 4} = -0{,}4$$

Это невозможно, так как степень числа 5 всегда положительна:

$$5^a > 0 \text{ для всех } a \in \mathbb{R}$$

Следовательно, нет решений.

Второй корень:

$$5^{x^2 — 3x — 4} = 1 \Rightarrow x^2 — 3x — 4 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Корни:

$$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$$

$$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

$$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Ответ к а):

$$x = -1;\quad x = 4$$

б)

Решим уравнение:

$$3^{2x^2 — 1} — 3^{(x — 1)(x + 5)} = 2 \cdot 3^{8(x — 1)}$$

Шаг 1. Раскроем скобки в показателях

$$(x — 1)(x + 5) = x^2 + 4x — 5$$ $$8(x — 1) = 8x — 8$$

Теперь уравнение:

$$3^{2x^2 — 1} — 3^{x^2 + 4x — 5} = 2 \cdot 3^{8x — 8}$$

Шаг 2. Разделим обе части на $3^{8x — 8}$

$$\frac{3^{2x^2 — 1}}{3^{8x — 8}} = 3^{2x^2 — 1 — 8x + 8} = 3^{2x^2 — 8x + 7}$$

$$\frac{3^{x^2 + 4x — 5}}{3^{8x — 8}} = 3^{x^2 + 4x — 5 — 8x + 8} = 3^{x^2 — 4x + 3}$$

Правая часть:

$$\frac{2 \cdot 3^{8x — 8}}{3^{8x — 8}} = 2$$

Получаем:

$$3^{2x^2 — 8x + 7} — 3^{x^2 — 4x + 3} = 2$$

Шаг 3. Замена переменной

Посмотрим на показатели:

$$2x^2 — 8x + 6 = 2(x^2 — 4x + 3)$$

Значит:

$$3^{2x^2 — 8x + 7} = 3 \cdot 3^{2(x^2 — 4x + 3)} = 3 \cdot (3^{x^2 — 4x + 3})^2 = 3y^2$$

Пусть $y = 3^{x^2 — 4x + 3}$

Теперь уравнение:

$$3y^2 — y = 2 \Rightarrow 3y^2 — y — 2 = 0$$

Шаг 4. Решение квадратного уравнения

$$3y^2 — y — 2 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$$

Корни:

$$y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$$

$$y_1 = \frac{1 — 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$

$$y_2 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Шаг 5. Возвращение к переменной $x$

Первый корень:

$$3^{x^2 — 4x + 3} = -\frac{2}{3} \Rightarrow \text{Нет решений, так как } 3^a > 0$$

Второй корень:

$$3^{x^2 — 4x + 3} = 1 \Rightarrow x^2 — 4x + 3 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Корни:

$$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$

$$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Ответ к б):

$$x = 1;\quad x = 3$$

Окончательные ответы:

а) $x = -1;\; 4$
б) $x = 1;\; 3$