ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\{\begin{array}{l}{2}^{2x}+2^x\cdot y=10\\ y^2+y\cdot 2^x=15\end{array}$$

б)

$$\{\begin{array}{l}{7}^{2x}-7^x\cdot y=28\\ y^2-y\cdot 7^x=-12\end{array}$$

Решить систему уравнений:

а)

$$\begin{cases} 2^{2x} + 2^x \cdot y = 10 \\ y^2 + y \cdot 2^x = 15 \end{cases}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{2^{2x}+2^x\cdot y}{y^2+y\cdot 2^x}=\frac{10}{15};$$

$$\frac{2^{2x} + 2^x \cdot y}{y^2 + y \cdot 2^x} = \frac{10}{15};$$ $$\frac{2^x\cdot (2^x+y)}{y\cdot (2^x+y)}=\frac{2}{3};$$

$$\frac{2^x \cdot (2^x + y)}{y \cdot (2^x + y)} = \frac{2}{3};$$ $$\frac{2^x}{y}=\frac{2}{3};$$

$$\frac{2^x}{y} = \frac{2}{3};$$ $$2^x = \frac{2y}{3};$$

Из второго уравнения:

$$y^2+y\cdot 2^x=15;$$

$$y^2 + y \cdot 2^x = 15;$$ $$y^2+y\cdot \frac{2y}{3}=15;$$

$$y^2 + y \cdot \frac{2y}{3} = 15;$$ $$3y^2+2y^2=45;$$

$$3y^2 + 2y^2 = 45;$$ $$5y^2=45;$$

$$5y^2 = 45;$$ $$y^2=9;$$

$$y^2 = 9;$$ $$y=\pm \sqrt{9}=\pm 3;$$

$$y = \pm \sqrt{9} = \pm 3;$$ $$2^x = \frac{2 \cdot (\pm 3)}{3} = \pm 2;$$

Первое значение:

$$2^x=-2;$$

$$2^x = -2;$$ $$x \in \varnothing;$$

Второе значение:

$$2^x=2;$$

$$2^x = 2;$$ $$x = 1;$$

Ответ: (1; 3).

б)

$$\begin{cases} 7^{2x} — 7^x \cdot y = 28 \\ y^2 — y \cdot 7^x = -12 \end{cases}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{7^{2x}-7^x\cdot y}{y^2-y\cdot 7^x}=\frac{28}{-12};$$

$$\frac{7^{2x} — 7^x \cdot y}{y^2 — y \cdot 7^x} = \frac{28}{-12};$$ $$\frac{7^x\cdot (7^x-y)}{-y\cdot (7^x-y)}=\frac{7}{-3};$$

$$\frac{7^x \cdot (7^x — y)}{-y \cdot (7^x — y)} = \frac{7}{-3};$$ $$\frac{7^x}{-y}=\frac{7}{-3};$$

$$\frac{7^x}{-y} = \frac{7}{-3};$$ $$7^x = \frac{7y}{3};$$

Из второго уравнения:

$$y^2-y\cdot \frac{7y}{3}=-12;$$

$$y^2 — y \cdot \frac{7y}{3} = -12;$$ $$3y^2-7y^2=-36;$$

$$3y^2 — 7y^2 = -36;$$ $$-4y^2=-36;$$

$$-4y^2 = -36;$$ $$y^2=9;$$

$$y^2 = 9;$$ $$y=\pm \sqrt{9}=\pm 3;$$

$$y = \pm \sqrt{9} = \pm 3;$$ $$7^x = \frac{7 \cdot (\pm 3)}{3} = \pm 7;$$

Первое значение:

$$7^x=-7;$$

$$7^x = -7;$$ $$x \in \varnothing;$$

Второе значение:

$$7^x=7;$$

$$7^x = 7;$$ $$x = 1;$$

Ответ: (1; 3).

а)

Решить систему:

$$\begin{cases} 2^{2x} + 2^x \cdot y = 10 \quad \text{(1)} \\ y^2 + y \cdot 2^x = 15 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Попробуем разделить (1) на (2)

Левая часть (1):

$$2^{2x} + 2^x \cdot y = (2^x)^2 + 2^x y = 2^x \cdot (2^x + y)$$

Левая часть (2):

$$y^2 + y \cdot 2^x = y \cdot (y + 2^x)$$

Теперь разделим:

$$\frac{2^{2x} + 2^x y}{y^2 + y \cdot 2^x} = \frac{2^x(2^x + y)}{y(2^x + y)} = \frac{2^x}{y}$$

Правая часть:

$$\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$

Тогда:

$$\frac{2^x}{y} = \frac{2}{3} \Rightarrow 2^x = \frac{2}{3}y \Rightarrow 2^x = \frac{2y}{3} \quad \text{(3)}$$

Шаг 2. Подставим (3) во второе уравнение

Имеем уравнение (2):

$$y^2 + y \cdot 2^x = 15$$

Подставим $2^x = \frac{2y}{3}$:

$$y^2 + y \cdot \frac{2y}{3} = 15 \Rightarrow y^2 + \frac{2y^2}{3} = 15$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3y^2 + 2y^2}{3} = \frac{5y^2}{3} = 15$$

Умножим обе части на 3:

$$5y^2 = 45 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3$$

Шаг 3. Найдём $x$ из (3)

Используем:

$$2^x = \frac{2y}{3}$$

Если $y = -3$:

$$2^x = \frac{2 \cdot (-3)}{3} = -2 \quad \text{— нет решения, т.к. } 2^x > 0$$

Если $y = 3$:

$$2^x = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2 \Rightarrow x = \log_2 2 = 1$$

Ответ к а):

$$\boxed{(1;\ 3)}$$

б)

Решить систему:

$$\begin{cases} 7^{2x} — 7^x y = 28 \quad \text{(1)} \\ y^2 — y \cdot 7^x = -12 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Разделим (1) на (2)

Левая часть (1):

$$7^{2x} — 7^x y = 7^x \cdot (7^x — y)$$

Левая часть (2):

$$y^2 — y \cdot 7^x = y \cdot (y — 7^x) = -y(7^x — y)$$

Теперь делим:

$$\frac{7^{2x} — 7^x y}{y^2 — y \cdot 7^x} = \frac{7^x (7^x — y)}{-y(7^x — y)} = \frac{7^x}{-y}$$

Правая часть:

$$\frac{28}{-12} = \frac{7}{-3}$$

Тогда:

$$\frac{7^x}{-y} = \frac{7}{-3} \Rightarrow 7^x = \frac{7y}{3} \quad \text{(3)}$$

Шаг 2. Подставим (3) во второе уравнение

Уравнение (2):

$$y^2 — y \cdot 7^x = -12$$

Подставим $7^x = \frac{7y}{3}$:

$$y^2 — y \cdot \frac{7y}{3} = -12 \Rightarrow y^2 — \frac{7y^2}{3} = -12$$

Приведём:

$$\frac{3y^2 — 7y^2}{3} = \frac{-4y^2}{3} = -12$$

Умножим обе части на 3:

$$-4y^2 = -36 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3$$

Шаг 3. Найдём $x$ из (3)

$$7^x = \frac{7y}{3}$$

Если $y = -3$:

$$7^x = \frac{7 \cdot (-3)}{3} = -7 \quad \text{— нет решения, т.к. } 7^x > 0$$

Если $y = 3$:

$$7^x = \frac{7 \cdot 3}{3} = 7 \Rightarrow x = \log_7 7 = 1$$

Ответ к б):

$$\boxed{(1;\ 3)}$$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{(1;\ 3)}$

б) $\boxed{(1;\ 3)}$