ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите, при каких значениях параметра а показательное уравнение имеет корни:

а) $2^x = a$;

б) $8^{3x+1} = a + 3$;

в) $\sqrt[3]{3^x} = -a$;

г) $\left( \frac{1}{2} \right)^x = a^2$

Найти, при каких значениях параметра $a$ показательное уравнение имеет корни:

а) $2^x = a$;

Уравнение имеет решения при:
$a > 0$;

Ответ: $a \in (0; +\infty)$.

б) $8^{3x+1} = a + 3$;

Уравнение имеет решения при:
$a + 3 > 0$;
$a > -3$;

Ответ: $a \in (-3; +\infty)$.

в) $\sqrt[3]{3^x} = -a$;

Уравнение имеет решения при:
$-a > 0$;
$a < 0$;

Ответ: $a \in (-\infty; 0)$.

г) $\left( \frac{1}{2} \right)^x = a^2$;

Уравнение имеет решения при:
$a^2 > 0$;
$a \ne 0$;

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

а) $2^x = a$

Рассмотрим функцию $y = 2^x$:

Основание степени — 2, это число больше нуля и не равно 1, значит функция $y = 2^x$ является показательной.

Область значений показательной функции $y = 2^x$:
$y \in (0; +\infty)$. Это значит, что $2^x$ всегда положительно для любого значения $x \in \mathbb{R}$.

Уравнение $2^x = a$ означает, что мы хотим найти такое значение $x$, при котором $2^x$ становится равным $a$.

Такое значение возможно только тогда, когда $a$ входит в область значений функции, то есть
$a > 0$

Ответ: $a \in (0; +\infty)$

б) $8^{3x+1} = a + 3$

Рассмотрим левую часть уравнения: $8^{3x+1}$

Число 8 положительное, больше 1, следовательно функция $y = 8^{3x+1}$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$ и принимает положительные значения.

Область значений функции $y = 8^{3x+1}$:
$y \in (0; +\infty)$

Уравнение $8^{3x+1} = a + 3$ имеет решение тогда и только тогда, когда
$a + 3 > 0$, то есть $a + 3 \in (0; +\infty)$

Решаем неравенство:
$a + 3 > 0 \Rightarrow a > -3$

Ответ: $a \in (-3; +\infty)$

в) $\sqrt[3]{3^x} = -a$

Рассмотрим левую часть уравнения: $\sqrt[3]{3^x}$

$3^x$ — показательная функция, принимает положительные значения:
$3^x > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$

Кубический корень $\sqrt[3]{y}$ определён для всех действительных $y$, в частности — для положительных $y = 3^x$

Так как $3^x > 0$, то и $\sqrt[3]{3^x} > 0$

Правая часть уравнения — $-a$. Чтобы уравнение
$\sqrt[3]{3^x} = -a$
имело решение, нужно, чтобы правая часть была также положительной:

$$-a > 0 \Rightarrow a < 0$$

Ответ: $a \in (-\infty; 0)$

г) $\left( \frac{1}{2} \right)^x = a^2$

Рассмотрим обе части:

Основание степени $\frac{1}{2} \in (0; 1)$, значит $\left( \frac{1}{2} \right)^x > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$

Левая часть уравнения всегда положительна, то есть
$\left( \frac{1}{2} \right)^x \in (0; +\infty)$

Теперь правая часть — это квадрат числа $a$, то есть $a^2$

Квадрат любого действительного числа, кроме нуля, всегда положителен:

• если $a > 0$, то $a^2 > 0$
• если $a < 0$, то $a^2 > 0$
• если $a = 0$, то $a^2 = 0$

Следовательно, уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда $a^2 > 0$, то есть
$a \ne 0$

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$