ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $2^x \geq 4$;

б) $2^x < \frac{1}{2}$;

в) $2^x \leq 8$;

г) $2^x > \frac{1}{16}$

Решить неравенство:

а) $2^x \geq 4$;
$2^x \geq 2^2$;
$x \geq 2$;
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

б) $2^x < \frac{1}{2}$;
$2^x < 2^{-1}$;
$x < -1$;
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

в) $2^x \leq 8$;
$2^x \leq 2^3$;
$x \leq 3$;
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

г) $2^x > \frac{1}{16}$;
$2^x > 2^{-4}$;
$x > -4$;
Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

а) $2^x \geq 4$

Шаг 1: Представим правую часть как степень двойки.

$$4 = 2^2$$

Тогда неравенство примет вид:

$$2^x \geq 2^2$$

Шаг 2: Используем свойства показательной функции.

Функция $f(x) = 2^x$ — возрастающая, так как основание степени $2 > 1$.

Если $2^x \geq 2^2$, и функция возрастающая, то:

$$x \geq 2$$

Ответ:

$$\boxed{x \in [2; +\infty)}$$

б) $2^x < \frac{1}{2}$

Шаг 1: Представим правую часть в виде степени двойки.

$$\frac{1}{2} = 2^{-1}$$

Неравенство:

$$2^x < 2^{-1}$$

Шаг 2: Функция $2^x$ возрастающая.

Значит:

$$x < -1$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; -1)}$$

в) $2^x \leq 8$

Шаг 1: Представим число 8 как степень двойки.

$$8 = 2^3$$

Получаем:

$$2^x \leq 2^3$$

Шаг 2: Так как функция $2^x$ возрастающая, то:

$$x \leq 3$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; 3]}$$

г) $2^x > \frac{1}{16}$

Шаг 1: Представим $\frac{1}{16}$ как степень двойки.

$$\frac{1}{16} = 2^{-4}$$

Неравенство:

$$2^x > 2^{-4}$$

Шаг 2: Используем монотонность показательной функции.

Так как функция $2^x$ — возрастающая, получаем:

$$x > -4$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-4; +\infty)}$$