ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.41 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3^x \leq 81$;

б) $\left(\frac{1}{3}\right)^x > \frac{1}{27}$;

в) $5^x > 125$;

г) $(0,2)^x \leq 0,04$

Решить неравенство:

а) $3^x \leq 81$;
$3^x \leq 3^4$;
$x \leq 4$;
Ответ: $x \in (-\infty; 4]$.

б) $\left(\frac{1}{3}\right)^x > \frac{1}{27}$;
$\left(\frac{1}{3}\right)^x > \left(\frac{1}{3}\right)^3$;
$x < 3$;
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

в) $5^x > 125$;
$5^x > 5^3$;
$x > 3$;
Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

г) $(0,2)^x \leq 0,04$;
$(0,2)^x \leq (0,2)^2$;
$x \geq 2$;
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

а) $3^x \leq 81$

Шаг 1: Представим число 81 в виде степени числа 3.

$$81 = 3^4$$

Шаг 2: Подставим:

$$3^x \leq 3^4$$

Шаг 3: Функция $f(x) = 3^x$ — возрастающая, потому что основание $3 > 1$.
У возрастающей функции:

$$3^x \leq 3^4 \Rightarrow x \leq 4$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; 4]}$$

б) $\left(\frac{1}{3}\right)^x > \frac{1}{27}$

Шаг 1: Представим $\frac{1}{27}$ как степень $\frac{1}{3}$:

$$\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$$

Шаг 2: Подставим в неравенство:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^x > \left(\frac{1}{3}\right)^3$$

Шаг 3: Функция $f(x) = \left( \frac{1}{3} \right)^x$ — убывающая, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$.
Убывающая функция сохраняет знак неравенства в обратную сторону:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^x > \left(\frac{1}{3}\right)^3 \Rightarrow x < 3$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; 3)}$$

в) $5^x > 125$

Шаг 1: Представим 125 в виде степени 5:

$$125 = 5^3$$

Шаг 2: Подставим:

$$5^x > 5^3$$

Шаг 3: Функция $f(x) = 5^x$ — возрастающая, так как $5 > 1$.
Значит:

$$5^x > 5^3 \Rightarrow x > 3$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (3; +\infty)}$$

г) $(0{,}2)^x \leq 0{,}04$

Шаг 1: Представим число 0,04 как степень 0,2.

Заметим:

• $0,2 = \frac{1}{5}$
• $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = (0,2)^2$

Значит:

$$(0{,}2)^x \leq (0{,}2)^2$$

Шаг 2: Основание $0{,}2 \in (0; 1)$ — значит функция убывающая.

У убывающей функции:

$$(0{,}2)^x \leq (0{,}2)^2 \Rightarrow x \geq 2$$

Ответ:

$$\boxed{x \in [2; +\infty)}$$