ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.42 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3^{2x-4} \leq 27$;

б) $\left(\frac{2}{3}\right)^{3x+6} > \frac{4}{9}$;

в) $5^{4x+2} \geq 125$;

г) $(0,1)^{5x-9} < 0,001$

а) $3^{2x-4} \leq 27$;
$3^{2x-4} \leq 3^3$;
$2x — 4 \leq 3$;
$2x \leq 7$;
$x \leq 3,5$;
Ответ: $x \in (-\infty; 3,5]$.

б) $\left(\frac{2}{3}\right)^{3x+6} > \frac{4}{9}$;
$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x+6} > \left(\frac{2}{3}\right)^2$;
$3x + 6 < 2$;
$3x < -4$;
$x < -1\frac{1}{3}$;
Ответ: $x \in \left(-\infty; -1\frac{1}{3}\right)$.

в) $5^{4x+2} \geq 125$;
$5^{4x+2} \geq 5^3$;
$4x + 2 \geq 3$;
$4x \geq 1$;
$x \geq 0,25$;
Ответ: $x \in [0,25; +\infty)$.

г) $(0,1)^{5x-9} < 0,001$;
$(0,1)^{5x-9} < (0,1)^3$;
$5x — 9 > 3$;
$5x > 12$;
$x > 2,4$;
Ответ: $x \in (2,4; +\infty)$.

а) $3^{2x — 4} \leq 27$

Шаг 1: Представим 27 как степень числа 3:

$$27 = 3^3$$

Шаг 2: Подставим в неравенство:

$$3^{2x — 4} \leq 3^3$$

Шаг 3: Функция $f(x) = 3^x$ — возрастающая, так как основание степени больше 1.
Значит, если $3^a \leq 3^b$, то $a \leq b$.
Применим это к нашему неравенству:

$$2x — 4 \leq 3$$

Шаг 4: Решаем линейное неравенство:

$$2x \leq 7 \Rightarrow x \leq \frac{7}{2} = 3{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; 3{,}5]}$$

б) $\left(\frac{2}{3}\right)^{3x + 6} > \frac{4}{9}$

Шаг 1: Представим $\frac{4}{9}$ как степень $\frac{2}{3}$:

$$\frac{4}{9} = \left( \frac{2}{3} \right)^2$$

Шаг 2: Подставим в неравенство:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x + 6} > \left( \frac{2}{3} \right)^2$$

Шаг 3: Функция $f(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x$ — убывающая, так как $\frac{2}{3} \in (0; 1)$

Для убывающей функции:

$$a > b \Rightarrow x < 2$$

Значит:

$$3x + 6 < 2$$

Шаг 4: Решим линейное неравенство:

$$3x < -4 \Rightarrow x < -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{x \in \left( -\infty; -1\frac{1}{3} \right)}$$

в) $5^{4x + 2} \geq 125$

Шаг 1: Представим 125 как степень числа 5:

$$125 = 5^3$$

Шаг 2: Подставим в неравенство:

$$5^{4x + 2} \geq 5^3$$

Шаг 3: Функция $f(x) = 5^x$ — возрастающая при $5 > 1$

Значит:

$$4x + 2 \geq 3$$

Шаг 4: Решаем линейное неравенство:

$$4x \geq 1 \Rightarrow x \geq \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Ответ:

$$\boxed{x \in [0{,}25; +\infty)}$$

г) $(0{,}1)^{5x — 9} < 0{,}001$

Шаг 1: Представим 0,001 как степень 0,1:

$$0{,}001 = (0{,}1)^3$$

Шаг 2: Подставим:

$$(0{,}1)^{5x — 9} < (0{,}1)^3$$

Шаг 3: Основание $0{,}1 \in (0; 1)$ ⇒ функция убывающая
Значит:

$$5x — 9 > 3$$

Шаг 4: Решим линейное неравенство:

$$5x > 12 \Rightarrow x > \frac{12}{5} = 2{,}4$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x\in (\mathrm{2,4};+\mathrm{\infty })}}$$