ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.44 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $4^{5x-1} > 16^{3x+2}$;

б) $\left(\frac{1}{7}\right)^{-3x+1} \geq \left(\frac{1}{49}\right)^{x+3}$;

в) $11^{-7x+1} \leq 121^{-2x-10}$;

г) $(0{,}09)^{5x-1} < 0{,}3^{x+7}$

а) $4^{5x-1} > 16^{3x+2}$;
$4^{5x-1} > 4^{2(3x+2)}$;
$5x — 1 > 2(3x + 2)$;
$5x — 1 > 6x + 4$;
$x < -5$;
Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.

б) $\left(\frac{1}{7}\right)^{-3x+1} \geq \left(\frac{1}{49}\right)^{x+3}$;
$\left(\frac{1}{7}\right)^{-3x+1} \geq \left(\frac{1}{7}\right)^{2(x+3)}$;
$-3x + 1 \leq 2(x + 3)$;
$-3x + 1 \leq 2x + 6$;
$-5x \geq -5$;
$x \geq -1$;
Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

в) $11^{-7x+1} \leq 121^{-2x-10}$;
$11^{-7x+1} \leq 11^{2(-2x-10)}$;
$-7x + 1 \leq 2(-2x — 10)$;
$-7x + 1 \leq -4x — 20$;
$-3x \geq -21$;
$x \geq 7$;
Ответ: $x \in [7; +\infty)$.

г) $(0{,}09)^{5x-1} < 0{,}3^{x+7}$;
$(0{,}3)^{2(5x-1)} < (0{,}3)^{x+7}$;
$2(5x — 1) > x + 7$;
$10x — 2 > x + 7$;
$9x > 9$;
$x > 1$;
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

а) $4^{5x — 1} > 16^{3x + 2}$

Шаг 1. Представим обе стороны с одним основанием:
$16 = 4^2$, значит:
$16^{3x + 2} = (4^2)^{3x + 2} = 4^{2(3x + 2)}$

Подставим:
$4^{5x — 1} > 4^{2(3x + 2)}$

Шаг 2. Так как основание $4 > 1$, функция возрастающая.
Можно сравнивать показатели:
$5x — 1 > 2(3x + 2)$

Шаг 3. Раскроем скобки:
$5x — 1 > 6x + 4$

Шаг 4. Переносим:
$5x — 6x > 4 + 1 \Rightarrow -x > 5 \Rightarrow x < -5$

Ответ: $x \in (-\infty; -5)$

б) $\left( \frac{1}{7} \right)^{-3x + 1} \geq \left( \frac{1}{49} \right)^{x + 3}$

Шаг 1. Преобразуем правую часть:
$\frac{1}{49} = \left( \frac{1}{7} \right)^2$, тогда:
$\left( \frac{1}{49} \right)^{x + 3} = \left( \frac{1}{7} \right)^{2(x + 3)}$

Подставим:
$\left( \frac{1}{7} \right)^{-3x + 1} \geq \left( \frac{1}{7} \right)^{2(x + 3)}$

Шаг 2. Основание $\frac{1}{7} < 1$, функция убывает ⇒ меняем знак:
$-3x + 1 \leq 2(x + 3)$

Шаг 3. Раскроем скобки:
$-3x + 1 \leq 2x + 6$

Шаг 4. Переносим:
$-5x \leq 5 \Rightarrow x \geq -1$

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$

в) $11^{-7x + 1} \leq 121^{-2x — 10}$

Шаг 1. Преобразуем правую часть:
$121 = 11^2$, значит:
$121^{-2x — 10} = 11^{2(-2x — 10)} = 11^{-4x — 20}$

Подставим:
$11^{-7x + 1} \leq 11^{-4x — 20}$

Шаг 2. Основание $11 > 1$, функция возрастающая ⇒ сравниваем показатели:
$-7x + 1 \leq -4x — 20$

Шаг 3. Переносим:
$-3x \leq -21 \Rightarrow x \geq 7$

Ответ: $x \in [7; +\infty)$

г) $(0{,}09)^{5x — 1} < 0{,}3^{x + 7}$

Шаг 1. Преобразуем основание:
$0{,}09 = (0{,}3)^2$, тогда:
$(0{,}09)^{5x — 1} = (0{,}3)^{2(5x — 1)}$

Подставим:
$(0{,}3)^{2(5x — 1)} < (0{,}3)^{x + 7}$

Шаг 2. Основание $0{,}3 < 1$, функция убывает ⇒ меняем знак:
$2(5x — 1) > x + 7$

Шаг 3. Раскрываем скобки:
$10x — 2 > x + 7$

Шаг 4. Переносим:
$9x > 9 \Rightarrow x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$