ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.45 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^{3x+6} \leq \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}$;

б) $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$;

в) $25^{-x+3} \geq \left(\frac{1}{5}\right)^{3x-1}$;ё

г) $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}$

Решить неравенство:

а) $2^{3x+6} \leq \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}$;
$2^{3x+6} \leq 2^{-2(x-1)}$;
$3x + 6 \leq -2(x — 1)$;
$3x + 6 \leq 2 — 2x$;
$5x \leq -4$;
$x \leq -0,8$;
Ответ: $x \in (-\infty; -0,8]$.

б) $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$;
$\left(\frac{12}{7}\right)^{2x-3} > \left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$;
$2x — 3 > 3 + 2x$;
$0x > 6$;
Ответ: $x \in \varnothing$.

в) $25^{-x+3} \geq \left(\frac{1}{5}\right)^{3x-1}$;
$5^{2(-x+3)} \geq 5^{1-3x}$;
$2(-x+3) \geq 1 — 3x$;
$-2x + 6 \geq 1 — 3x$;
$x \geq -5$;
Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

г) $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}$;
$\left(\frac{3}{5}\right)^{8-2x} < \left(\frac{3}{5}\right)^{2(-x+3)}$;
$8 — 2x > 2(-x + 3)$;
$8 — 2x > -2x + 6$;
$0x > -2$;
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

а) $2^{3x+6} \leq \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}$

Шаг 1: Приведём к одному основанию

Заметим:

$$\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$$

Следовательно:

$$\left( \frac{1}{4} \right)^{x — 1} = (2^{-2})^{x — 1} = 2^{-2(x — 1)}$$

Подставим в неравенство:

$$2^{3x + 6} \leq 2^{-2(x — 1)}$$

Шаг 2: Основание $2 > 1$ → функция возрастающая

Значит, можно сравнивать показатели:

$$3x + 6 \leq -2(x — 1)$$

Шаг 3: Раскроем скобки

$$3x + 6 \leq -2x + 2$$

Шаг 4: Перенесём всё в одну сторону

$$3x + 2x \leq 2 — 6 \Rightarrow 5x \leq -4$$

Шаг 5: Делим обе части на 5

$$x \leq -\frac{4}{5} = -0{,}8$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; -0{,}8]}$$

б) $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$

Шаг 1: Приведём к одному основанию

Преобразуем основание $\frac{12}{7}$:

$$\frac{12}{7} = \left( \frac{7}{12} \right)^{-1}$$

Следовательно:

$$\left( \frac{12}{7} \right)^{3 + 2x} = \left( \left( \frac{7}{12} \right)^{-1} \right)^{3 + 2x} = \left( \frac{7}{12} \right)^{-(3 + 2x)}$$

Теперь неравенство:

$$\left( \frac{7}{12} \right)^{-2x + 3} > \left( \frac{7}{12} \right)^{-(3 + 2x)}$$

Шаг 2: Основание $\frac{7}{12} \in (0;1)$ → функция убывает

Значит, меняем знак неравенства при переходе к показателям:

$$-2x + 3 < -(3 + 2x)$$

Шаг 3: Раскроем правую часть

$$-2x + 3 < -3 — 2x$$

Шаг 4: Переносим всё в одну сторону

$$-2x + 2x + 3 < -3 — 2x + 2x \Rightarrow 3 < -3$$

Это ложное утверждение, которое не зависит от $x$

Вывод: неравенство не выполняется ни при каком значении $x$

Ответ:

$$\boxed{x \in \varnothing}$$

в) $25^{-x + 3} \geq \left( \frac{1}{5} \right)^{3x — 1}$

Шаг 1: Приведём к одному основанию

$$25 = 5^2,\quad \frac{1}{5} = 5^{-1}$$

Тогда:

• $25^{-x + 3} = (5^2)^{-x + 3} = 5^{2(-x + 3)}$
• $\left( \frac{1}{5} \right)^{3x — 1} = 5^{-1(3x — 1)} = 5^{-(3x — 1)} = 5^{1 — 3x}$

Итак, неравенство:

$$5^{2(-x + 3)} \geq 5^{1 — 3x}$$

Шаг 2: Основание $5 > 1$ → функция возрастающая

Сравним показатели:

$$2(-x + 3) \geq 1 — 3x$$

Шаг 3: Раскрываем скобки

$$-2x + 6 \geq 1 — 3x$$

Шаг 4: Переносим всё в одну сторону

$$-2x + 3x + 6 \geq 1 \Rightarrow x + 6 \geq 1 \Rightarrow x \geq -5$$

Ответ:

$$\boxed{x \in [-5; +\infty)}$$

г) $\left( \frac{5}{3} \right)^{2x — 8} < \left( \frac{9}{25} \right)^{-x + 3}$

Шаг 1: Преобразуем правую часть

$$\frac{9}{25} = \left( \frac{3}{5} \right)^2 \Rightarrow \left( \frac{9}{25} \right)^{-x + 3} = \left( \left( \frac{3}{5} \right)^2 \right)^{-x + 3} = \left( \frac{3}{5} \right)^{2(-x + 3)}$$

Также:

$$\left( \frac{5}{3} \right)^{2x — 8} = \left( \frac{3}{5} \right)^{-(2x — 8)} = \left( \frac{3}{5} \right)^{8 — 2x}$$

Теперь неравенство:

$$\left( \frac{3}{5} \right)^{8 — 2x} < \left( \frac{3}{5} \right)^{2(-x + 3)}$$

Шаг 2: Основание $\frac{3}{5} \in (0;1)$ → функция убывающая

Меняем знак неравенства:

$$8 — 2x > 2(-x + 3)$$

Шаг 3: Раскрываем скобки

$$8 — 2x > -2x + 6$$

Шаг 4: Переносим

$$8 > 6$$

Это всегда верно, при любом значении $x$

Вывод: неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; +\infty)}$$