ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.46 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2\sqrt{2} \cdot 2^{x-3} \geq \frac{1}{2}$;

б) $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} \leq 5 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{2x-1}$;

в) $\left( \frac{1}{7} \right)^{3x+4} \cdot 7\sqrt{7} < \frac{1}{7}$;

г) $0,25 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{10-x} > 4\sqrt{64}$

Решить неравенство:

а) $2\sqrt{2} \cdot 2^{x-3} \geq \frac{1}{2}$;
$2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{x-3} \geq 2^{-1}$;
$2^{x — 1,5} \geq 2^{-1}$;
$x — 1,5 \geq -1$;
$x \geq 0,5$;
Ответ: $x \in [0,5; +\infty)$.

б) $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} \leq 5 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{2x-1}$;
$5 \cdot \sqrt{5} \leq 5 \cdot 5^{1 — 2x}$;
$5^{\frac{1}{2}} \leq 5^{1 — 2x}$;
$0,5 \leq 1 — 2x$;
$2x \leq 0,5$;
$x \leq 0,25$;
Ответ: $x \in (-\infty; 0,25]$.

в) $\left( \frac{1}{7} \right)^{3x+4} \cdot 7\sqrt{7} < \frac{1}{7}$;
$7^{-3x-4} \cdot 7 \cdot 7^{\frac{1}{2}} < 7^{-1}$;
$7^{-3x — 2,5} < 7^{-1}$;
$-3x — 2,5 < -1$;
$3x > -1,5$;
$x > -0,5$;
Ответ: $x \in (-0,5; +\infty)$.

г) $0,25 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{10-x} > 4\sqrt{64}$;
$\frac{1}{4} \cdot 4^{x-10} > 4 \cdot 8$;
$2^{-2} \cdot 2^{2(x-10)} > 2^2 \cdot 2^3$;
$2^{2x — 22} > 2^5$;
$2x — 22 > 5$;
$2x > 27$;
$x > 13,5$;
Ответ: $x \in (13,5; +\infty)$.

а) $2\sqrt{2} \cdot 2^{x-3} \geq \frac{1}{2}$

Шаг 1: Представим все числа как степени двойки

$$\sqrt{2} = 2^{1/2}, \quad \frac{1}{2} = 2^{-1}$$ $$2\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2} = 2^{1{,}5}$$

Теперь выражение:

$$2^{1{,}5} \cdot 2^{x — 3} \geq 2^{-1}$$

Шаг 2: Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

$$2^{1{,}5 + x — 3} = 2^{x — 1{,}5}$$

Теперь неравенство:

$$2^{x — 1{,}5} \geq 2^{-1}$$

Шаг 3: Основание $2 > 1$, функция возрастающая

Можно сравнивать показатели:

$$x — 1{,}5 \geq -1$$

Шаг 4: Решим линейное неравенство

$$x \geq -1 + 1{,}5 = 0{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{x \in [0{,}5; +\infty)}$$

б) $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} \leq 5 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{2x-1}$

Шаг 1: Представим в виде степеней

$$\sqrt[3]{125} = 5, \quad \sqrt{5} = 5^{1/2}, \quad \left( \frac{1}{5} \right)^{2x — 1} = 5^{-(2x — 1)} = 5^{1 — 2x}$$

Тогда:

$$5 \cdot 5^{1/2} \leq 5 \cdot 5^{1 — 2x}$$

Шаг 2: Сократим обе части на 5

$$5^{1/2} \leq 5^{1 — 2x}$$

Шаг 3: Основание $5 > 1$, функция возрастающая

Сравниваем показатели:

$$0{,}5 \leq 1 — 2x$$

Шаг 4: Решим неравенство

$$2x \leq 1 — 0{,}5 = 0{,}5 \Rightarrow x \leq 0{,}25$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; 0{,}25]}$$

в) $\left( \frac{1}{7} \right)^{3x+4} \cdot 7\sqrt{7} < \frac{1}{7}$

Шаг 1: Перепишем выражения в виде степеней

$$\left( \frac{1}{7} \right)^{3x + 4} = 7^{-(3x + 4)} = 7^{-3x — 4}, \quad \sqrt{7} = 7^{1/2}$$

Тогда:

$$7^{-3x — 4} \cdot 7 \cdot 7^{1/2} = 7^{-3x — 4 + 1 + 1/2} = 7^{-3x — 2{,}5}$$

Правая часть:

$$\frac{1}{7} = 7^{-1}$$

Шаг 2: Неравенство становится

$$7^{-3x — 2{,}5} < 7^{-1}$$

Шаг 3: Основание $7 > 1$, функция возрастающая

Сравниваем показатели:

$$-3x — 2{,}5 < -1$$

Шаг 4: Решим неравенство

$$-3x < 1{,}5 \Rightarrow x > -0{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-0{,}5; +\infty)}$$

г) $0{,}25 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{10 — x} > 4\sqrt{64}$

Шаг 1: Представим всё как степени двойки

$$0{,}25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}, \quad \frac{1}{4} = 2^{-2}, \quad 4 = 2^2, \quad \sqrt{64} = 8 = 2^3$$

Преобразуем левую часть:

$$0{,}25 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{10 — x} = 2^{-2} \cdot \left( 2^{-2} \right)^{10 — x} = 2^{-2} \cdot 2^{-2(10 — x)} = 2^{-2 — 20 + 2x} = 2^{2x — 22}$$

Правая часть:

$$4 \cdot \sqrt{64} = 2^2 \cdot 2^3 = 2^5$$

Шаг 2: Получили неравенство

$$2^{2x — 22} > 2^5$$

Шаг 3: Основание $2 > 1$, функция возрастающая

Сравниваем показатели:

$$2x — 22 > 5$$

Шаг 4: Решим линейное неравенство

$$2x > 27 \Rightarrow x > 13{,}5$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x\in (\mathrm{13,5};+\mathrm{\infty })}}$$