ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.48 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt{2^{-1}} \cdot \sqrt{2^{x^2 — 7{,}5}} \geq 2^{-7}$;

б) $0{,}9^{x^2 — 4x} < \left(\frac{10}{9}\right)^3$;

в) $14^{x^2 + x} \leq 196$;

г) $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2 — 13x} > 9$

Решить неравенство:

а) $\sqrt{2^{-1}} \cdot \sqrt{2^{x^2 — 7{,}5}} \geq 2^{-7}$;
$2^{-0{,}5} \cdot 2^{0{,}5(x^2 — 7{,}5)} \geq 2^{-7}$;
$-0{,}5 + 0{,}5(x^2 — 7{,}5) \geq -7$;
$-0{,}5 + 0{,}5x^2 — 3{,}75 \geq -7$;
$0{,}5x^2 \geq -2{,}75$;
$x^2 \geq -5{,}5$;
$x \in \mathbb{R}$;
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $0{,}9^{x^2 — 4x} < \left(\frac{10}{9}\right)^3$;
$0{,}9^{x^2 — 4x} < 0{,}9^{-3}$;
$x^2 — 4x > -3$;
$x^2 — 4x + 3 > 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:
$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$, $x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$;
$(x — 1)(x — 3) > 0$;
$x < 1$ или $x > 3$;
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

в) $14^{x^2 + x} \leq 196$;
$14^{x^2 + x} \leq 14^2$;
$x^2 + x \leq 2$;
$x^2 + x — 2 \leq 0$;
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$, $x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$;
$(x + 2)(x — 1) \leq 0$;
$-2 \leq x \leq 1$;
Ответ: $x \in [-2; 1]$.

г) $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2 — 13x} > 9$;
$3^{-0{,}5(3x^2 — 13x)} > 3^2$;
$-0{,}5(3x^2 — 13x) > 2$;
$3x^2 — 13x < -4$;
$3x^2 — 13x + 4 < 0$;
$D = 13^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 — 48 = 121$, тогда:
$x_1 = \frac{13 — 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$,
$x_2 = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$;
$\left(x — \frac{1}{3}\right)(x — 4) < 0$;
$\frac{1}{3} < x < 4$;
Ответ: $x \in \left( \frac{1}{3}; 4 \right)$.

а) $\sqrt{2^{-1}} \cdot \sqrt{2^{x^2 — 7{,}5}} \geq 2^{-7}$

Шаг 1. Представим корни в виде степеней:
$\sqrt{2^{-1}} = (2^{-1})^{1/2} = 2^{-1/2}$
$\sqrt{2^{x^2 — 7{,}5}} = (2^{x^2 — 7{,}5})^{1/2} = 2^{\frac{1}{2}(x^2 — 7{,}5)}$

Левая часть неравенства:
$2^{-1/2} \cdot 2^{\frac{1}{2}(x^2 — 7{,}5)}$

Шаг 2. Применим свойство: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{-1/2 + \frac{1}{2}(x^2 — 7{,}5)} \geq 2^{-7}$

Шаг 3. Приведём показатели:
$-0{,}5 + 0{,}5x^2 — 3{,}75 \geq -7$

Приводим подобные:
$0{,}5x^2 — 4{,}25 \geq -7$

Шаг 4. Перенесём $-4{,}25$:
$0{,}5x^2 \geq -2{,}75$

Шаг 5. Умножим обе части на 2:
$x^2 \geq -5{,}5$

Так как квадрат любого действительного числа всегда $\geq 0$, то это неравенство выполняется при любом $x \in \mathbb{R}$

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

б) $0{,}9^{x^2 — 4x} < \left(\frac{10}{9}\right)^3$

Шаг 1. Представим правую часть через основание 0{,}9:
$\frac{10}{9} = \frac{1}{0{,}9} \Rightarrow \left( \frac{10}{9} \right)^3 = (0{,}9)^{-3}$

Подставим:
$0{,}9^{x^2 — 4x} < 0{,}9^{-3}$

Шаг 2. Основание $0{,}9 \in (0; 1)$, функция убывающая
Значит, при $0{,}9^a < 0{,}9^b$ имеем $a > b$

Получаем:
$x^2 — 4x > -3$

Шаг 3. Перенесём в левую часть:
$x^2 — 4x + 3 > 0$

Шаг 4. Найдём дискриминант:
$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$

Шаг 5. Найдём корни:
$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$,
$x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$

Шаг 6. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, знак «> 0» означает область вне корней:
$x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

в) $14^{x^2 + x} \leq 196$

Шаг 1. Представим правую часть как степень 14:
$196 = 14^2$

Подставим:
$14^{x^2 + x} \leq 14^2$

Шаг 2. Основание $14 > 1$, функция возрастающая ⇒ сравниваем показатели:
$x^2 + x \leq 2$

Шаг 3. Переносим всё в левую часть:
$x^2 + x — 2 \leq 0$

Шаг 4. Найдём дискриминант:
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$

Шаг 5. Найдём корни:
$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$,
$x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$

Шаг 6. Так как ветви вверх и неравенство $\leq 0$, берём промежуток между корнями включительно:
$x \in [-2; 1]$

Ответ: $x \in [-2; 1]$

г) $\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{3x^2 — 13x} > 9$

Шаг 1. Перепишем основание:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-1/2}$

Тогда:
$\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{3x^2 — 13x} = 3^{-0{,}5(3x^2 — 13x)}$

Правая часть:
$9 = 3^2$

Теперь неравенство:
$3^{-0{,}5(3x^2 — 13x)} > 3^2$

Шаг 2. Основание $3 > 1$, функция возрастающая
Значит сравниваем показатели:

$-0{,}5(3x^2 — 13x) > 2$

Шаг 3. Умножим обе части на $-1$, меняя знак:
$0{,}5(3x^2 — 13x) < -2$

Умножим обе части на 2:
$3x^2 — 13x < -4$

Шаг 4. Перенесём:
$3x^2 — 13x + 4 < 0$

Шаг 5. Найдём дискриминант:
$D = (-13)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 — 48 = 121$

Шаг 6. Найдём корни:
$x_1 = \frac{13 — \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 — 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 11}{6} = \frac{24}{6} = 4$

Шаг 7. Ветви вверх ⇒ область между корнями:
$x \in \left( \frac{1}{3}; 4 \right)$

Ответ: $x \in \left( \frac{1}{3}; 4 \right)$