ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.49 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^x + 2^{x+2} \leq 20$;

б) $3^{2x-1} — 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$;

в) $\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+4} + \left(\frac{1}{5}\right)^{3x+5} > 6$;

г) $0,3^{6x-1} — 0,3^{6x} \geq 0,7$

Решить неравенство:

а) $2^x + 2^{x+2} \leq 20$;
$2^x \cdot (1 + 2^2) \leq 20$;
$2^x \cdot (1 + 4) \leq 20$;
$2^x \cdot 5 \leq 20$;
$2^x \leq 4$;
$2^x \leq 2^2$;
$x \leq 2$;
Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

б) $3^{2x-1} — 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$;
$3^{2x} \cdot (3^{-1} — 3^{-3}) < \frac{8}{3}$;
$3^{2x} \cdot \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{27}\right) < \frac{8}{3}$;
$3^{2x} \cdot \frac{8}{27} < \frac{8}{3}$;
$3^{2x} < 9$;
$3^{2x} < 3^2$;
$2x < 2$;
$x < 1$;
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

в) $\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+4} + \left(\frac{1}{5}\right)^{3x+5} > 6$;
$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x} \cdot \left(\left(\frac{1}{5}\right)^4 + \left(\frac{1}{5}\right)^5\right) > 6$;
$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x} \cdot \left(\frac{1}{625} + \frac{1}{3125}\right) > 6$;
$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x} \cdot \frac{6}{3125} > 6$;
$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x} > 3125$;
$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x} > \left(\frac{1}{5}\right)^{-5}$;
$3x < -5$;
$x < -\frac{5}{3}$;
Ответ: $x \in \left(-\infty; -\frac{5}{3}\right)$.

г) $0,3^{6x-1} — 0,3^{6x} \geq 0,7$;
$0,3^{6x} \cdot (0,3^{-1} — 1) \geq 0,7$;
$0,3^{6x} \cdot \left(\frac{10}{3} — 1\right) \geq 0,7$;
$0,3^{6x} \cdot \frac{7}{3} \geq \frac{7}{10}$;
$0,3^{6x} \geq 0,3$;
$6x \leq 1$;
$x \leq \frac{1}{6}$;
Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{1}{6}\right]$.

а) $2^x + 2^{x+2} \leq 20$

Шаг 1: Представим всё через $2^x$:
$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 2^x \cdot 4$

Шаг 2: Подставим:
$2^x + 4 \cdot 2^x \leq 20$

Шаг 3: Вынесем $2^x$ за скобку:
$2^x (1 + 4) \leq 20$

Шаг 4:
$2^x \cdot 5 \leq 20$

Шаг 5: Разделим обе части на 5 (5 > 0 — знак не меняется):
$2^x \leq 4$

Шаг 6: Представим 4 как степень двойки:
$2^x \leq 2^2$

Шаг 7: Поскольку основание 2 > 1, функция возрастающая ⇒ сравниваем показатели:
$x \leq 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$

б) $3^{2x-1} — 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$

Шаг 1: Вынесем общий множитель $3^{2x}$:
$3^{2x-1} = 3^{2x} \cdot 3^{-1} = \frac{3^{2x}}{3}$
$3^{2x-3} = 3^{2x} \cdot 3^{-3} = \frac{3^{2x}}{27}$

Шаг 2:
$\frac{3^{2x}}{3} — \frac{3^{2x}}{27} < \frac{8}{3}$

Шаг 3: Приведём к общему множителю:
$3^{2x} \cdot \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{27} \right) = 3^{2x} \cdot \frac{8}{27}$

Шаг 4:
$3^{2x} \cdot \frac{8}{27} < \frac{8}{3}$

Шаг 5: Умножим обе части на $\frac{27}{8}$ (положительное число):
$3^{2x} < 9$

Шаг 6:
$3^{2x} < 3^2$

Шаг 7: Функция $3^x$ возрастает ⇒ сравниваем показатели:
$2x < 2$

Шаг 8:
$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$

в) $\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+4} + \left(\frac{1}{5}\right)^{3x+5} > 6$

Шаг 1: Вынесем общий множитель:
$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x}$ — общий множитель.

Шаг 2:
$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x} \cdot \left(\left(\frac{1}{5}\right)^4 + \left(\frac{1}{5}\right)^5 \right) > 6$

Шаг 3:
$\left(\frac{1}{5}\right)^4 = \frac{1}{625}, \quad \left(\frac{1}{5}\right)^5 = \frac{1}{3125}$

Шаг 4: Сложим дроби:
$\frac{1}{625} + \frac{1}{3125} = \frac{5 + 1}{3125} = \frac{6}{3125}$

Шаг 5: Подставим:
$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x} \cdot \frac{6}{3125} > 6$

Шаг 6: Умножим обе части на $\frac{3125}{6}$ (положительное число):
$\left(\frac{1}{5}\right)^{3x} > 3125$

Шаг 7: $3125 = 5^5 \Rightarrow \left(\frac{1}{5}\right)^{3x} > \left(\frac{1}{5}\right)^{-5}$

Шаг 8: Основание $< 1$, функция убывает ⇒ неравенство меняется на противоположное:
$3x < -5$

Шаг 9:
$x < -\frac{5}{3}$

Ответ: $x \in \left(-\infty; -\frac{5}{3}\right)$

г) $0{,}3^{6x-1} — 0{,}3^{6x} \geq 0{,}7$

Шаг 1: Вынесем $0{,}3^{6x}$:
$0{,}3^{6x} \cdot (0{,}3^{-1} — 1) \geq 0{,}7$

Шаг 2:
$0{,}3^{-1} = \frac{1}{0{,}3} = \frac{10}{3}$

Шаг 3:
$\frac{10}{3} — 1 = \frac{10 — 3}{3} = \frac{7}{3}$

Шаг 4:
$0{,}3^{6x} \cdot \frac{7}{3} \geq 0{,}7$

Шаг 5: Умножим обе части на $\frac{3}{7}$:
$0{,}3^{6x} \geq 0{,}3$

Шаг 6: Представим правую часть как $0{,}3^1$:
$0{,}3^{6x} \geq 0{,}3^1$

Шаг 7: Основание $< 1$, функция убывает ⇒ меняем знак:
$6x \leq 1$

Шаг 8:
$x \leq \frac{1}{6}$

Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{1}{6}\right]$