ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^{x+1} = 4$;

б) $5^{3x-1} = 0,2$;

в) $0,4^{4-5x} = 0,16\sqrt{0,4}$;

г) $\left( \frac{1}{2} \right)^{2-x} = 8\sqrt{2}$

Решить уравнение:
а) $2^{x+1} = 4$;
$2^{x+1} = 2^2$;
$x + 1 = 2$;
$x = 1$;
Ответ: 1.

б) $5^{3x-1} = 0,2$;
$5^{3x-1} = \frac{1}{5}$;
$5^{3x-1} = 5^{-1}$;
$3x — 1 = -1$;
$3x = 0$;
$x = 0$;
Ответ: 0.

в) $0,4^{4-5x} = 0,16\sqrt{0,4}$;
$0,4^{4-5x} = 0,4^2 \cdot 0,4^{1/2}$;
$0,4^{4-5x} = 0,4^{2,5}$;
$4 — 5x = 2,5$;
$5x = 1,5$;
$x = 0,3$;
Ответ: 0,3.

г) $\left( \frac{1}{2} \right)^{2-x} = 8\sqrt{2}$;
$2^{-(2-x)} = 2^3 \cdot 2^{1/2}$;
$2^{x-2} = 2^{3,5}$;
$x — 2 = 3,5$;
$x = 5,5$;
Ответ: 5,5.

а) $2^{x+1} = 4$

Шаг 1: Представим правую часть как степень двойки.

$$4 = 2^2$$

Шаг 2: Подставим в уравнение:

$$2^{x+1} = 2^2$$

Шаг 3: Основания одинаковые, значит приравниваем показатели:

$$x + 1 = 2$$

Шаг 4: Выразим $x$:

$$x = 2 — 1 = 1$$

Ответ: 1

б) $5^{3x — 1} = 0{,}2$

Шаг 1: Переведем десятичную дробь в обыкновенную:

$$0{,}2 = \dfrac{1}{5}$$

Шаг 2: Представим правую часть как степень числа 5:

$$\dfrac{1}{5} = 5^{-1}$$

Шаг 3: Подставим это в уравнение:

$$5^{3x — 1} = 5^{-1}$$

Шаг 4: Основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$3x — 1 = -1$$

Шаг 5: Решим уравнение:

$$3x = -1 + 1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{0}{3} = 0$$

Ответ: 0

в) $0{,}4^{4 — 5x} = 0{,}16\sqrt{0{,}4}$

Шаг 1: Представим оба множителя справа как степени числа 0{,}4.
Сначала заметим:

$$0{,}16 = 0{,}4^2 \quad \text{и} \quad \sqrt{0{,}4} = 0{,}4^{1/2}$$

Шаг 2: Используем свойства степеней:

$$0{,}16\sqrt{0{,}4} = 0{,}4^2 \cdot 0{,}4^{1/2} = 0{,}4^{2 + 1/2} = 0{,}4^{2{,}5}$$

Шаг 3: Подставим это в уравнение:

$$0{,}4^{4 — 5x} = 0{,}4^{2{,}5}$$

Шаг 4: Основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$4 — 5x = 2{,}5$$

Шаг 5: Решим уравнение:

$$5x = 4 — 2{,}5 = 1{,}5 \Rightarrow x = \dfrac{1{,}5}{5} = 0{,}3$$

Ответ: 0,3

г) $\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2 — x} = 8\sqrt{2}$

Шаг 1: Представим левую часть как степень двойки:

$$\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2 — x} = 2^{-(2 — x)} = 2^{x — 2}$$

Шаг 2: Представим правую часть как степень двойки:

$$8 = 2^3,\quad \sqrt{2} = 2^{1/2} \Rightarrow 8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{3 + 0{,}5} = 2^{3{,}5}$$

Шаг 3: Подставим в уравнение:

$$2^{x — 2} = 2^{3{,}5}$$

Шаг 4: Основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$x — 2 = 3{,}5 \Rightarrow x = 3{,}5 + 2 = 5{,}5$$

Ответ: 5,5