ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.50 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3^{2x} — 4 \cdot 3^x + 3 \leq 0$;

б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x — 5 \geq 0$;

в) $0,2^{2x} — 1,2 \cdot 0,2^x + 0,2 > 0$;

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2x} + 6 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^x — 7 < 0$

Решить неравенство:

а) $3^{2x} — 4 \cdot 3^x + 3 \leq 0$;
Пусть $y = 3^x$, тогда:
$y^2 — 4y + 3 \leq 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:
$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$;
$(y — 1)(y — 3) \leq 0$;
$1 \leq y \leq 3$;
Первое значение:
$3^x \geq 1$;
$x \geq 0$;
Второе значение:
$3^x \leq 3$;
$x \leq 1$;
Ответ: $x \in [0; 1]$.

б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x — 5 \geq 0$;
Пусть $y = 5^x$, тогда:
$y^2 + 4y — 5 \geq 0$;
$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$, тогда:
$y_1 = \frac{-4 — 6}{2} = -5$ и $y_2 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$;
$(y + 5)(y — 1) \geq 0$;
$y \leq -5$ или $y \geq 1$;
Первое значение:
$5^x \leq -5$;
$x \in \emptyset$;
Второе значение:
$5^x \geq 1$;
$x \geq 0$;
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

в) $0,2^{2x} — 1,2 \cdot 0,2^x + 0,2 > 0$;
Пусть $y = 0,2^x$, тогда:
$y^2 — 1,2y + 0,2 > 0$;
$5y^2 — 6y + 1 > 0$;
$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:
$y_1 = \frac{6 — 4}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0,2$ и $y_2 = \frac{6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$;
$(y — 0,2)(y — 1) > 0$;
$y < 0,2$ или $y > 1$;
Первое значение:
$0,2^x < 0,2$;
$x > 1$;
Второе значение:
$0,2^x > 1$;
$x < 0$;
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2x} + 6 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^x — 7 < 0$;
Пусть $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x$, тогда:
$y^2 + 6y — 7 < 0$;
$D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64$, тогда:
$y_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7$ и $y_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1$;
$(y + 7)(y — 1) < 0$;
$-7 < y < 1$;
Первое значение:
$\left(\frac{1}{7}\right)^x > -7$;
$x \in \mathbb{R}$;
Второе значение:
$\left(\frac{1}{7}\right)^x < 1$;
$x > 0$;
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

а) $3^{2x} — 4 \cdot 3^x + 3 \leq 0$

Шаг 1. Заменим $3^x = y$, тогда $3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$

Шаг 2. Получим квадратное неравенство:
$y^2 — 4y + 3 \leq 0$

Шаг 3. Найдём дискриминант:
$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$

Шаг 4. Найдём корни:
$y_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$y_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Шаг 5. Так как ветви вверх ($a = 1 > 0$), неравенство $\leq 0$ выполняется между корнями:
$y \in [1; 3]$

Шаг 6. Вернёмся к переменной $x$:
$3^x \in [1; 3]$

Шаг 7. Решим двойное неравенство:

• $3^x \geq 1 \Rightarrow x \geq 0$
• $3^x \leq 3 \Rightarrow x \leq 1$

Шаг 8. Совместим:
$x \in [0; 1]$

Ответ: $x \in [0; 1]$

б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x — 5 \geq 0$

Шаг 1. Замена: $y = 5^x$, тогда $5^{2x} = y^2$

Шаг 2. Получим:
$y^2 + 4y — 5 \geq 0$

Шаг 3. Найдём дискриминант:
$D = 4^2 + 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$

Шаг 4. Найдём корни:
$y_1 = \frac{-4 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$y_2 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Шаг 5. Ветви вверх ⇒ неравенство $\geq 0$ выполняется вне корней:
$y \leq -5$ или $y \geq 1$

Шаг 6. $y = 5^x > 0$, следовательно, $y \leq -5$ невозможен. Остаётся:
$y \geq 1$

Шаг 7. $5^x \geq 1 \Rightarrow x \geq 0$

Ответ: $x \in [0; +\infty)$

в) $0{,}2^{2x} — 1{,}2 \cdot 0{,}2^x + 0{,}2 > 0$

Шаг 1. Замена: $y = 0{,}2^x$, тогда $0{,}2^{2x} = y^2$

Шаг 2. Получим:
$y^2 — 1{,}2y + 0{,}2 > 0$

Шаг 3. Умножим на 5 для удобства:
$5y^2 — 6y + 1 > 0$

Шаг 4. Найдём дискриминант:
$D = (-6)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 — 20 = 16$

Шаг 5. Найдём корни:
$y_1 = \frac{6 — \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 — 4}{10} = 0{,}2$
$y_2 = \frac{6 + 4}{10} = 1$

Шаг 6. Ветви вверх ⇒ неравенство $> 0$ выполняется вне корней:
$y < 0{,}2$ или $y > 1$

Шаг 7. Разбираем каждую часть:

• $0{,}2^x < 0{,}2 \Rightarrow x > 1$
• $0{,}2^x > 1 \Rightarrow x < 0$

Шаг 8. Ответ — объединение интервалов:
$x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2x} + 6 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^x — 7 < 0$

Шаг 1. Замена: $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x$, тогда:
$y^2 + 6y — 7 < 0$

Шаг 2. Найдём дискриминант:
$D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64$

Шаг 3. Найдём корни:
$y_1 = \frac{-6 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$y_2 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1$

Шаг 4. Ветви вверх ⇒ неравенство $< 0$ выполняется между корнями:
$y \in (-7; 1)$

Шаг 5. Так как $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x > 0$, нас интересует только часть:
$0 < y < 1$

Шаг 6. Тогда:
$\left(\frac{1}{7}\right)^x < 1 \Rightarrow x > 0$

Ответ: $x\in (0;+\mathrm{\infty })$