ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.52 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3^x < 5^x$;

б) $6^x \geq 2^x$;

$\frac{{}^{}}{}$в) $\left( \frac{12}{13} \right)^x \leq 12^x$;

г) $0,6^x > 3^x$

Решить неравенство:

а) $3^x < 5^x$;
$\frac{3^x}{5^x} < 1$;
$(0,6)^x < (0,6)^0$;
$x > 0$;
Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

б) $6^x \geq 2^x$;
$\frac{6^x}{2^x} \geq 1$;
$3^x \geq 3^0$;
$x \geq 0$;
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

в) $\left( \frac{12}{13} \right)^x \leq 12^x$;
$\frac{12^x}{12^x \cdot 13^x} \leq 1$;
$\left( \frac{1}{13} \right)^x \leq \left( \frac{1}{13} \right)^0$;
$x \geq 0$;
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

г) $0,6^x > 3^x$;
$\frac{0,6^x}{3^x} > 1$;
$(0,2)^x > (0,2)^0$;
$x < 0$;
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

а) $3^x < 5^x$

Шаг 1. Перепишем неравенство, разделив обе части:

$$\frac{3^x}{5^x} < 1$$

Шаг 2. Воспользуемся свойством степеней:

$$\frac{3^x}{5^x} = \left( \frac{3}{5} \right)^x$$

Шаг 3. Заметим, что $\frac{3}{5} = 0{,}6$, следовательно:

$$(0{,}6)^x < 1$$

Шаг 4. Напомним, что:

• если $0 < a < 1$, то $a^x < 1$ при $x > 0$
• при $x = 0$, $a^x = 1$
• при $x < 0$, $a^x > 1$

Вывод:

$$x > 0$$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$

б) $6^x \geq 2^x$

Шаг 1. Разделим обе части:

$$\frac{6^x}{2^x} \geq 1$$

Шаг 2. Используем свойства степеней:

$$\frac{6^x}{2^x} = \left( \frac{6}{2} \right)^x = 3^x$$

Шаг 3. Получаем неравенство:

$$3^x \geq 1 = 3^0$$

Шаг 4. При основании $a > 1$, неравенство $a^x \geq a^0$ решается так:

$$x \geq 0$$

Ответ: $x \in [0; +\infty)$

в) $\left( \frac{12}{13} \right)^x \leq 12^x$

Шаг 1. Представим правую часть как произведение:

$$\left( \frac{12}{13} \right)^x = \frac{12^x}{13^x}, \quad 12^x = \frac{12^x \cdot 1}{1}$$

Шаг 2. Запишем дробь:

$$\frac{12^x}{13^x} \leq 12^x$$

Шаг 3. Разделим обе части на $12^x$ (всегда положительно):

$$\frac{1}{13^x} \leq 1$$

Шаг 4. Перепишем:

$$\left( \frac{1}{13} \right)^x \leq 1$$

Шаг 5. Поскольку $0 < \frac{1}{13} < 1$, тогда:

• $\left( \frac{1}{13} \right)^x \leq 1$ при $x \geq 0$

Ответ: $x \in [0; +\infty)$

г) $0{,}6^x > 3^x$

Шаг 1. Разделим обе части:

$$\frac{0{,}6^x}{3^x} > 1$$

Шаг 2. Используем свойство:

$$\frac{a^x}{b^x} = \left( \frac{a}{b} \right)^x, \quad \text{тогда:} \quad \left( \frac{0{,}6}{3} \right)^x > 1$$

Шаг 3. Упростим:

$$\left( \frac{0{,}6}{3} \right)^x = (0{,}2)^x$$

Шаг 4. Получаем неравенство:

$$(0{,}2)^x > 1$$

Шаг 5. Основание $0 < 0{,}2 < 1$, и для таких оснований:

• $a^x > 1$ при $x < 0$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };0)$