ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.53 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $5^x \leq -x + 6$;

б) $\left(\frac{1}{4}\right)^x > 3x + 1$;

в) $3^x \geq -x + 4$;

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^x < 0,5x + 5$

Решить неравенство:

а) $5^x \leq -x + 6$;
Функция $y = 5^x$ возрастает на $\mathbb{R}$;
Функция $y = -x + 6$ убывает на $\mathbb{R}$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(1) = 5^1 = 5$;
$y_2(1) = 6 — 1 = 5$;
Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.

б) $\left(\frac{1}{4}\right)^x > 3x + 1$;
Функция $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ убывает на $\mathbb{R}$;
Функция $y = 3x + 1$ возрастает на $\mathbb{R}$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(0) = \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1$;
$y_2(0) = 3 \cdot 0 + 1 = 1$;
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

в) $3^x \geq -x + 4$;
Функция $y = 3^x$ возрастает на $\mathbb{R}$;
Функция $y = -x + 4$ убывает на $\mathbb{R}$;
Методом перебора найдем пересечение:
$y_1(1) = 3^1 = 3$;
$y_2(1) = -1 + 4 = 3$;
Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^x < 0,5x + 5$;
$y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ — показательная функция:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

$y = 0,5x + 5$ — уравнение прямой:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & 5 & 6 \\ \hline \end{array}$$

Графики функций:

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$

а) Решить неравенство:

$$5^x \leq -x + 6$$

Шаг 1. Функция $f(x) = 5^x$ — показательная, с основанием $5 > 1$. Она возрастает на всей числовой прямой.

Шаг 2. Функция $g(x) = -x + 6$ — линейная. Коэффициент при $x$ отрицателен, значит функция убывает на всей числовой прямой.

Шаг 3. При $x = 1$:

$$f(1) = 5^1 = 5, \quad g(1) = -1 + 6 = 5$$

То есть графики пересекаются при $x = 1$.

Шаг 4. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то:

• При $x < 1$: $5^x < -x + 6$
• При $x > 1$: $5^x > -x + 6$

Следовательно: неравенство выполняется при

$$x \leq 1$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$

б) Решить неравенство:

$$\left( \frac{1}{4} \right)^x > 3x + 1$$

Шаг 1. Функция $f(x) = \left( \frac{1}{4} \right)^x$ — убывающая показательная функция (основание $< 1$).

Шаг 2. Функция $g(x) = 3x + 1$ — возрастающая линейная.

Шаг 3. Найдём точку пересечения, подставим $x = 0$:

$$f(0) = 1, \quad g(0) = 3 \cdot 0 + 1 = 1$$

Значит, графики пересекаются в точке $x = 0$

Шаг 4. Для $x < 0$:

• $f(x)$ увеличивается
• $g(x)$ уменьшается
  ⇒ $f(x) > g(x)$

Для $x > 0$:

• $f(x)$ убывает
• $g(x)$ растёт
  ⇒ $f(x) < g(x)$

Следовательно: неравенство выполняется при

$$x < 0$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$

в) Решить неравенство:

$$3^x \geq -x + 4$$

Шаг 1. Функция $f(x) = 3^x$ — показательная возрастающая.

Шаг 2. Функция $g(x) = -x + 4$ — убывающая линейная.

Шаг 3. Найдём точку пересечения:
При $x = 1$:

$$f(1) = 3, \quad g(1) = -1 + 4 = 3$$

Значит, пересекаются в точке $x = 1$

Шаг 4. Для $x > 1$:

• $f(x)$ увеличивается
• $g(x)$ уменьшается
  ⇒ $f(x) > g(x)$

Для $x < 1$:

• $f(x)$ уменьшается
• $g(x)$ увеличивается
  ⇒ $f(x) < g(x)$

Следовательно: неравенство выполняется при

$$x \geq 1$$

Ответ: $x \in [1; +\infty)$

г) Решить неравенство:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^x < 0{,}5x + 5$$

Шаг 1. Построим значения функции $f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline f(x) & 4 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 2. Построим значения функции $g(x) = 0{,}5x + 5$:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline g(x) & 5 & 6 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3. Найдём точку пересечения. Проверим при $x = -2$:

$$f(-2) = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 2^2 = 4 \\ g(-2) = 0{,}5 \cdot (-2) + 5 = -1 + 5 = 4$$

Пересекаются при $x = -2$

Шаг 4. Функция $f(x) = (1/2)^x$ убывает, $g(x)$ — возрастает.
Значит:

• При $x > -2$: $f(x) < g(x)$ ⇒ неравенство выполняется
• При $x < -2$: $f(x) > g(x)$

Следовательно: неравенство выполняется при

$$x > -2$$

Ответ: $x\in (-2;+\mathrm{\infty })$