ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.54 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \geq 1$;

б) $0{,}36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1$;

в) $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \leq 1$;

г) $\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1$

Решить неравенство:

а) $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \geq 1$;
$\frac{2x — 3}{x + 2} \geq 0$;
$\frac{2(x — 1{,}5)}{x + 2} \geq 0$;
$x < -2$ или $x \geq 1{,}5$;
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [1{,}5; +\infty)$.

б) $0{,}36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1$;
$\frac{7x + 1}{2 — x} > 0$;
$7\left(x + \frac{1}{7}\right) < 0$;
$\frac{x — 2}{x — 2}$;
$-\frac{1}{7} < x < 2$;
Ответ: $x \in \left(-\frac{1}{7}; 2\right)$.

в) $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \leq 1$;
$\frac{5x — 9}{x + 6} \leq 0$;
$\frac{5(x — 1{,}8)}{x + 6} \leq 0$;
$-6 < x \leq 1{,}8$;
Ответ: $x \in (-6; 1{,}8]$.

г) $\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1$;
$\frac{9x — 18}{6 — x} < 0$;
$\frac{9(x — 2)}{x — 6} > 0$;
$x < 2$ или $x > 6$;
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.

а)

Решить неравенство:

$$19^{\frac{2x — 3}{x + 2}} \geq 1$$

Шаг 1. Свойство показательной функции

Основание $19 > 1$, а значит функция $19^t$ возрастает. Тогда:

$$19^{\frac{2x — 3}{x + 2}} \geq 1 \iff \frac{2x — 3}{x + 2} \geq 0$$

Шаг 2. Исследуем знак дроби

Рассмотрим рациональное неравенство:

$$\frac{2x — 3}{x + 2} \geq 0$$

Найдём нули числителя и знаменателя:

• Числитель: $2x — 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1{,}5$
• Знаменатель: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Шаг 3. Построим числовую прямую и отметим критические точки:

Разбиваем на интервалы:

• $x < -2$
• $-2 < x < 1{,}5$
• $x > 1{,}5$

Знаки:

• При $x < -2$: числитель < 0, знаменатель < 0 → дробь > 0
• При $-2 < x < 1{,}5$: числитель < 0, знаменатель > 0 → дробь < 0
• При $x > 1{,}5$: числитель > 0, знаменатель > 0 → дробь > 0

Шаг 4. Проверим границы

• $x = -2$: знаменатель 0 → исключаем
• $x = 1{,}5$: числитель 0 → входит

Ответ:

$$x \in (-\infty; -2) \cup [1{,}5; +\infty)$$

б)

Решить неравенство:

$$0{,}36^{\frac{7x + 1}{2 — x}} < 1$$

Шаг 1. Преобразуем основание

$0{,}36 = \left( \frac{6}{10} \right)^2 = \left( \frac{3}{5} \right)^2$, то есть основание $< 1$.
Функция $a^t$ при $0 < a < 1$ — убывающая, значит:

$$0{,}36^t < 1 \iff t > 0$$

Значит:

$$\frac{7x + 1}{2 — x} > 0$$

Шаг 2. Анализ дроби

Запишем:

$$\frac{7x + 1}{2 — x} > 0$$

Нули числителя и знаменателя:

• $7x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{7}$
• $2 — x = 0 \Rightarrow x = 2$

Шаг 3. Интервалы:

• $x < -\frac{1}{7}$
• $-\frac{1}{7} < x < 2$
• $x > 2$

Знаки:

• $x < -\frac{1}{7}$: числ. < 0, зн. > 0 → < 0
• $-\frac{1}{7} < x < 2$: числ. > 0, зн. > 0 → > 0
• $x > 2$: числ. > 0, зн. < 0 → < 0

Границы:

• $x = -\frac{1}{7}$: числ. = 0 → 0 > 0
• $x = 2$: зн. = 0 →

Ответ:

$$x \in \left( -\frac{1}{7}; 2 \right)$$

в)

Решить неравенство:

$$37^{\frac{5x — 9}{x + 6}} \leq 1$$

Шаг 1. Основание больше 1 ⇒ функция возрастает:

$$37^t \leq 1 \iff t \leq 0 \Rightarrow \frac{5x — 9}{x + 6} \leq 0$$

Шаг 2. Анализ рационального неравенства

$$\frac{5x — 9}{x + 6} \leq 0$$

Нули:

• числитель: $x = \frac{9}{5} = 1{,}8$
• знаменатель: $x = -6$

Шаг 3. Интервалы:

• $x < -6$
• $-6 < x < 1{,}8$
• $x > 1{,}8$

Знаки:

• $x < -6$: числ. < 0, зн. < 0 → > 0
• $-6 < x < 1{,}8$: числ. < 0, зн. > 0 → < 0
• $x > 1{,}8$: числ. > 0, зн. > 0 → > 0

Границы:

• $x = -6$: знаменатель 0 →
• $x = 1{,}8$: числ. = 0 → входит

Ответ:

$$x \in (-6; 1{,}8]$$

г)

Решить неравенство:

$$\left( \frac{29}{30} \right)^{\frac{9x — 18}{6 — x}} > 1$$

Шаг 1. Основание $\frac{29}{30} < 1$, значит функция убывает:

$$a^t > 1 \iff t < 0 \quad \text{(если } 0 < a < 1\text{)}$$

Значит:

$$\frac{9x — 18}{6 — x} < 0$$

Шаг 2. Упростим:

$$\frac{9(x — 2)}{6 — x} < 0$$

Перепишем знаменатель:

$$6 — x = -(x — 6) \Rightarrow \frac{9(x — 2)}{-(x — 6)} = -\frac{9(x — 2)}{x — 6}$$

Тогда:

$$-\frac{9(x — 2)}{x — 6} < 0 \Rightarrow \frac{9(x — 2)}{x — 6} > 0$$

Шаг 3. Исследуем знак:

$$\frac{9(x — 2)}{x — 6} > 0$$

Нули:

• числ.: $x = 2$
• зн.: $x = 6$

Интервалы:

• $x < 2$: числ. < 0, зн. < 0 → > 0
• $2 < x < 6$: числ. > 0, зн. < 0 → < 0
• $x > 6$: числ. > 0, зн. > 0 → > 0

Границы:

• $x = 2$: числ. 0 → не входит
• $x = 6$: зн. 0 → не входит

Ответ:

$$x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$$

Итоговые ответы:

а) $x \in (-\infty; -2) \cup [1{,}5; +\infty)$

б) $x \in \left( -\frac{1}{7}; 2 \right)$

в) $x \in (-6; 1{,}8]$

г) $x\in (-\mathrm{\infty };2)\cup (6;+\mathrm{\infty })$