ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.55 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $$$3^{\frac{x-4}{x}-3} < \frac{1}{27}$;

б)${}^{}$$\left( \frac{8}{9} \right)^{\frac{6x-1}{x}-1} \geq \frac{81}{64}$;

в) $$$8^{\frac{2-x}{x}-2} > \frac{1}{64}$;

г)${}^{}$$\left( \frac{6}{11} \right)^{\frac{5x+1}{x}-1} \leq \frac{121}{36}$

Решить неравенство:

а) $$$3^{\frac{x-4}{x}-3} < \frac{1}{27}$;
$3^{\frac{x-4}{x}-3} < 3^{-3}$;
$\frac{x-4}{x} — 3 < -3$;
$\frac{x-4}{x} < 0$;
$0 < x < 4$;
Ответ: $x \in (0; 4)$.

б)${}^{}$$\left( \frac{8}{9} \right)^{\frac{6x-1}{x}-1} \geq \frac{81}{64}$;
$\left( \frac{8}{9} \right)^{\frac{6x-1}{x}-1} \geq \left( \frac{8}{9} \right)^{-2}$;
$\frac{6x-1}{x} — 1 \leq -2$;
$\frac{6x-1}{x} + 1 \leq 0$;
$\frac{7x — 1}{x} \leq 0$;
$0 < x \leq \frac{1}{7}$;
Ответ: $x \in \left( 0; \frac{1}{7} \right]$.

в) $$$8^{\frac{2-x}{x}-2} > \frac{1}{64}$;
$8^{\frac{2-x}{x}-2} > 8^{-2}$;
$\frac{2-x}{x} — 2 > -2$;
$\frac{2-x}{x} > 0$;
$\frac{x-2}{x} < 0$;
$0 < x < 2$;
Ответ: $x \in (0; 2)$.

г)${}^{}$$\left( \frac{6}{11} \right)^{\frac{5x+1}{x}-1} \leq \frac{121}{36}$;
$\left( \frac{6}{11} \right)^{\frac{5x+1}{x}-1} \leq \left( \frac{6}{11} \right)^{-2}$;
$\frac{5x+1}{x} — 1 \geq -2$;
$\frac{5x+1}{x} + 1 \geq 0$;
$\frac{6x + 1}{x} \geq 0$;
$x \leq -\frac{1}{6}$ или $x > 0$;
Ответ: $x \in \left( -\infty; -\frac{1}{6} \right] \cup (0; +\infty)$.

а) ${\mathrm{}}^{}$$3^{\frac{x — 4}{x} — 3} < \frac{1}{27}$
Преобразуем правую часть:
$\frac{1}{27} = 3^{-3}$
Следовательно:
$3^{\frac{x — 4}{x} — 3} < 3^{-3}$
Так как основание $3 > 1$, функция возрастает ⇒ показатели сравниваются напрямую:
$\frac{x — 4}{x} — 3 < -3$
Переносим $-3$ в правую часть:
$\frac{x — 4}{x} < 0$
Рассмотрим знак дроби:
Знаменатель $x \ne 0$
Знаем, что дробь < 0, когда числитель и знаменатель разного знака:

$x — 4 > 0$ и $x < 0$ ⇒ $x > 4$ и $x < 0$ — противоречие

$x — 4 < 0$ и $x > 0$ ⇒ $x < 4$ и $x > 0$ — подходит
Значит:
$x \in (0; 4)$
Ответ: $x \in (0; 4)$

б)${}^{}$$\left( \frac{8}{9} \right)^{\frac{6x — 1}{x} — 1} \geq \frac{81}{64}$
Преобразуем правую часть:
$\frac{81}{64} = \left( \frac{8}{9} \right)^{-2}$
Подставим:
$\left( \frac{8}{9} \right)^{\frac{6x — 1}{x} — 1} \geq \left( \frac{8}{9} \right)^{-2}$
Основание $\frac{8}{9} < 1$, убывающая функция ⇒ знак неравенства меняется на противоположный при переходе к показателям:
$\frac{6x — 1}{x} — 1 \leq -2$
Приводим к общему виду:
$\frac{6x — 1}{x} + (-1) \leq -2 \Rightarrow \frac{6x — 1}{x} + 1 \leq 0$
Считаем:
$\frac{6x — 1 + x}{x} = \frac{7x — 1}{x} \leq 0$
Исследуем знак дроби:
Нули: $x \ne 0$, $7x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{7}$
Таблица знаков:

При $x < 0$: числитель < 0, знаменатель < 0 ⇒ > 0

При $x = \frac{1}{7}$: числитель = 0 ⇒ дробь = 0

При $x > \frac{1}{7}$: числитель > 0, знаменатель > 0 ⇒ > 0
Только в интервале $x \in (0; \frac{1}{7}]$ выражение ≤ 0
Ответ: $x \in \left(0; \frac{1}{7}\right]$

в) ${\mathrm{}}^{}$$8^{\frac{2 — x}{x} — 2} > \frac{1}{64}$
Преобразуем правую часть:
$\frac{1}{64} = 8^{-2}$
Подставим:
$8^{\frac{2 — x}{x} — 2} > 8^{-2}$
Основание $8 > 1$, функция возрастает ⇒ сравниваем показатели:
$\frac{2 — x}{x} — 2 > -2$
Переносим $-2$:
$\frac{2 — x}{x} > 0$
Это выражение положительно, когда числитель и знаменатель одного знака:

$2 — x > 0$ и $x > 0$ ⇒ $x < 2$ и $x > 0$ — подходит

$2 — x < 0$ и $x < 0$ ⇒ $x > 2$ и $x < 0$ — противоречие
Итак:
$x \in (0; 2)$
Ответ: $x \in (0; 2)$

г)${}^{}$$\left( \frac{6}{11} \right)^{\frac{5x + 1}{x} — 1} \leq \frac{121}{36}$
Преобразуем правую часть:
$\frac{121}{36} = \left( \frac{6}{11} \right)^{-2}$
Подставим:
$\left( \frac{6}{11} \right)^{\frac{5x + 1}{x} — 1} \leq \left( \frac{6}{11} \right)^{-2}$
Основание $< 1$, функция убывает ⇒ при переходе к показателям знак меняется:
$\frac{5x + 1}{x} — 1 \geq -2$
Упростим:
$\frac{5x + 1}{x} + 1 \geq 0 \Rightarrow \frac{6x + 1}{x} \geq 0$
Исследуем знак дроби:
Нули: $x \ne 0$, числитель = 0 при $x = -\frac{1}{6}$
Знаки:

$x < -\frac{1}{6}$: числитель < 0, знаменатель < 0 ⇒ > 0

$x = -\frac{1}{6}$: числитель = 0 ⇒ дробь = 0

$x > 0$: числитель > 0, знаменатель > 0 ⇒ > 0
Значит:
$x \in (-\infty; -\frac{1}{6}] \cup (0; +\infty)$
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{6}] \cup (0; +\infty)$