ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.56 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\mathrm{}}^{}$$4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x \leq 2{,}25;$

б) ${\mathrm{}}^{}$$9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x > 0{,}25;$

в) ${\mathrm{}}^{}$$5^x \cdot \left(\frac{2}{15}\right)^x \geq \frac{4}{9};$

г) $$$3^x\cdot {\left(\frac{1}{12}\right)}^x<\mathrm{0,0625}$

а) ${\mathrm{}}^{}$$4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x \leq 2{,}25;$
$\left(\frac{3}{2}\right)^x \leq \frac{9}{4};$
$\left(\frac{3}{2}\right)^x \leq \left(\frac{3}{2}\right)^2;$
$x \leq 2;$
Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

б) ${\mathrm{}}^{}$$9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x > 0{,}25;$
$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{4};$
$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^2;$
$x < 2;$
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

в) ${\mathrm{}}^{}$$5^x \cdot \left(\frac{2}{15}\right)^x \geq \frac{4}{9};$
$\left(\frac{2}{3}\right)^x \geq \left(\frac{2}{3}\right)^2;$
$x \leq 2;$
Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

г) $$$3^x \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^x < 0{,}0625;$
$\left(\frac{1}{4}\right)^x < \frac{1}{16};$
$\left(\frac{1}{4}\right)^x < \left(\frac{1}{4}\right)^2;$
$x > 2;$
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

а)

Решить:

$$4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x \leq 2{,}25$$

Шаг 1. Используем свойства степеней:

$$a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$$ $$4^x \cdot \left(\frac{3}{8}\right)^x = \left(4 \cdot \frac{3}{8}\right)^x = \left(\frac{12}{8}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^x$$

Шаг 2. Заменим левую часть неравенства:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x \leq 2{,}25$$

Шаг 3. Преобразуем правую часть:

$$2{,}25 = \frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$$

Шаг 4. Сравнение степеней с одинаковым основанием (основание > 1):

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x \leq \left(\frac{3}{2}\right)^2 \Rightarrow x \leq 2$$

Ответ:

$$x \in (-\infty; 2]$$

б)

Решить:

$$9^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x > 0{,}25$$

Шаг 1. Снова объединяем степени:

$$(9 \cdot \frac{1}{18})^x = \left(\frac{9}{18}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$

Шаг 2. Неравенство:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0{,}25$$

Шаг 3. Преобразуем правую часть:

$$0{,}25 = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$$

Шаг 4. Сравнение показателей при $0 < \frac{1}{2} < 1$:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^2 \Rightarrow x < 2$$

Ответ:

$$x \in (-\infty; 2)$$

в)

Решить:

$$5^x \cdot \left(\frac{2}{15}\right)^x \geq \frac{4}{9}$$

Шаг 1. Объединение оснований:

$$(5 \cdot \frac{2}{15})^x = \left(\frac{10}{15}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^x$$

Шаг 2. Неравенство:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x \geq \frac{4}{9}$$

Шаг 3. Преобразуем правую часть:

$$\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$$

Шаг 4. Основание $\frac{2}{3} \in (0;1)$, значит знак меняется:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x \geq \left(\frac{2}{3}\right)^2 \Rightarrow x \leq 2$$

Ответ:

$$x \in (-\infty; 2]$$

г)

Решить:

$$3^x \cdot \left(\frac{1}{12}\right)^x < 0{,}0625$$

Шаг 1. Объединение оснований:

$$\left(3 \cdot \frac{1}{12}\right)^x = \left(\frac{3}{12}\right)^x = \left(\frac{1}{4}\right)^x$$

Шаг 2. Неравенство:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^x < 0{,}0625$$

Шаг 3. Представим правую часть как степень:

$$0{,}0625 = \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{4}\right)^2$$

Шаг 4. Основание $\frac{1}{4} \in (0;1)$, значит знак меняется:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^x < \left(\frac{1}{4}\right)^2 \Rightarrow x > 2$$

Ответ:

$$x \in (2; +\infty)$$

Итоговые ответы:

а) $x \in (-\infty; 2]$
б) $x \in (-\infty; 2)$
в) $x \in (-\infty; 2]$
г) $x \in (2; +\infty)$