ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.58 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:

а) $2{,}5^{2x+3} \leq 6{,}25$;

б) $\left(\frac{2}{5}\right)^{7x-9} \geq \frac{8}{125}$;

в) $1{,}1^{5x-3} < 1{,}21$;

г) $0{,}7^{9x+4} > 0{,}49$

Найти наибольшее целочисленное решение неравенства:

а) $2{,}5^{2x+3} \leq 6{,}25$;

$2{,}5^{2x+3} \leq 2{,}5^2$;

$2x + 3 \leq 2$;

$2x \leq -1$;

$x \leq -0{,}5$;

Ответ: $-1$.

б) $\left(\frac{2}{5}\right)^{7x-9} \geq \frac{8}{125}$;

$\left(\frac{2}{5}\right)^{7x-9} \geq \left(\frac{2}{5}\right)^3$;

$7x — 9 \leq 3$;

$7x \leq 12$;

$x \leq 1\frac{5}{7}$;

Ответ: $1$.

в) $1{,}1^{5x-3} < 1{,}21$;

$1{,}1^{5x-3} < 1{,}1^2$;

$5x — 3 < 2$;

$5x < 5$;

$x < 1$;

Ответ: $0$.

г) $0{,}7^{9x+4} > 0{,}49$;

$0{,}7^{9x+4} > 0{,}7^2$;

$9x + 4 < 2$;

$9x < -2$;

$x < -\frac{2}{9}$;

Ответ: $-1$.

а) Дано неравенство:
$2{,}5^{2x + 3} \leq 6{,}25$

Шаг 1. Представим число $6{,}25$ как степень числа $2{,}5$.
Проверим:
$2{,}5^2 = 2{,}5 \cdot 2{,}5 = 6{,}25$

Заменим правую часть:
$2{,}5^{2x + 3} \leq 2{,}5^2$

Шаг 2. Так как основание $2{,}5 > 1$, функция возрастающая, значит знак неравенства сохраняется.
Следовательно:
$2x + 3 \leq 2$

Шаг 3. Решим линейное неравенство:
$2x + 3 \leq 2$

Вычтем 3 из обеих частей:
$2x \leq -1$

Разделим обе части на 2:
$x \leq -0{,}5$

Шаг 4. Найдём наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию.
Целые числа, меньшие или равные $-0{,}5$: $-1, -2, -3, \ldots$

Наибольшее из них — $-1$

Ответ: $-1$

б) Дано:
$\left( \frac{2}{5} \right)^{7x — 9} \geq \frac{8}{125}$

Шаг 1. Представим правую часть как степень $\frac{2}{5}$:
Проверим:

$$\frac{8}{125} = \frac{2^3}{5^3} = \left( \frac{2}{5} \right)^3$$

Подставим:
$\left( \frac{2}{5} \right)^{7x — 9} \geq \left( \frac{2}{5} \right)^3$

Шаг 2. Основание дроби $\frac{2}{5} < 1$, значит функция убывающая. При сравнении степеней знак неравенства меняется на противоположный.

Заменим:
$7x — 9 \leq 3$

Шаг 3. Решим неравенство:
Прибавим 9 к обеим частям:
$7x \leq 12$

Разделим обе части на 7:

$$x \leq \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$$

Шаг 4. Найдём наибольшее целое $x$, которое меньше или равно $1\frac{5}{7}$:
Это 1

Ответ: $1$

в) Дано:
$1{,}1^{5x — 3} < 1{,}21$

Шаг 1. Представим число $1{,}21$ как степень $1{,}1$:
Проверим:
$1{,}1^2 = 1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$

Подставим:
$1{,}1^{5x — 3} < 1{,}1^2$

Шаг 2. Основание $1{,}1 > 1$, значит функция возрастающая — знак неравенства сохраняется.

Переходим к показателям:
$5x — 3 < 2$

Шаг 3. Решим неравенство:
Прибавим 3:
$5x < 5$

Разделим на 5:
$x < 1$

Шаг 4. Найдём наибольшее целое число, строго меньше 1:
Это 0

Ответ: $0$

г) Дано:
$0{,}7^{9x + 4} > 0{,}49$

Шаг 1. Представим число $0{,}49$ как степень числа $0{,}7$:
Проверим:
$0{,}7^2 = 0{,}49$

Подставим:
$0{,}7^{9x + 4} > 0{,}7^2$

Шаг 2. Основание $0{,}7 < 1$, значит функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный.

Получаем:
$9x + 4 < 2$

Шаг 3. Решим:
Вычтем 4:
$9x < -2$

Разделим на 9:
$x < -\frac{2}{9}$

Шаг 4. Найдём наибольшее целое число, меньшее $-\frac{2}{9}$:
Это $-1$

Ответ: $-1$