ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.59 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $5^{x^2 — 2x} \leq 125$;

б) $\left( \frac{1}{7} \right)^{2x^2 — 3x} \geq \frac{1}{49}$;

в) $2^{-x^2 + 8x} > 128$;

г) $(0.3)^{x^2 — x} > 0.09$

Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $5^{x^2 — 2x} \leq 125$;

$5^{x^2 — 2x} \leq 5^3$;

$x^2 — 2x \leq 3$;

$x^2 — 2x — 3 \leq 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$;

$(x + 1)(x — 3) \leq 0$;

$-1 \leq x \leq 3$;

Целые решения:

$x = -1, 0, 1, 2, 3$;

Ответ: 5.

б) $\left( \frac{1}{7} \right)^{2x^2 — 3x} \geq \frac{1}{49}$;

$\left( \frac{1}{7} \right)^{2x^2 — 3x} \geq \left( \frac{1}{7} \right)^2$;

$2x^2 — 3x \leq 2$;

$2x^2 — 3x — 2 \leq 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0.5$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$;

$(x + 0.5)(x — 2) \leq 0$;

$-0.5 \leq x \leq 2$;

Целые решения:

$x = 0, 1, 2$;

Ответ: 3.

в) $2^{-x^2 + 8x} > 128$;

$2^{-x^2 + 8x} > 2^7$;

$-x^2 + 8x > 7$;

$x^2 — 8x + 7 < 0$;

$D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36$, тогда:

$x_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7$;

$(x — 1)(x — 7) < 0$;

$1 < x < 7$;

Целые решения:

$x = 2, 3, 4, 5, 6$;

Ответ: 5.

г) $(0.3)^{x^2 — x} > 0.09$;

$(0.3)^{x^2 — x} > (0.3)^2$;

$x^2 — x < 2$;

$x^2 — x — 2 < 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;

$(x + 1)(x — 2) < 0$;

$-1 < x < 2$;

Целые решения:

$x = 0, 1$;

Ответ: 2.

а)

Дано:

$$5^{x^2 — 2x} \leq 125$$

Шаг 1. Представим правую часть в виде степени числа 5:

$$125 = 5^3$$

Подставим:

$$5^{x^2 — 2x} \leq 5^3$$

Шаг 2. Основание $5 > 1$, функция $5^a$ — возрастающая, поэтому можно сравнивать показатели, знак неравенства сохраняется:

$$x^2 — 2x \leq 3$$

Шаг 3. Переносим всё в левую часть:

$$x^2 — 2x — 3 \leq 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное неравенство:
Найдём дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad,\quad x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Запишем в виде произведения:

$$(x + 1)(x — 3) \leq 0$$

Шаг 5. Интервал, где произведение меньше или равно нуля:

$$-1 \leq x \leq 3$$

Шаг 6. Целые значения в этом промежутке:

$$x = -1, 0, 1, 2, 3$$

Их 5.

Ответ: 5

б)

Дано:

$$\left( \frac{1}{7} \right)^{2x^2 — 3x} \geq \frac{1}{49}$$

Шаг 1. Представим правую часть как степень $\frac{1}{7}$:

$$\frac{1}{49} = \left( \frac{1}{7} \right)^2$$

Подставим:

$$\left( \frac{1}{7} \right)^{2x^2 — 3x} \geq \left( \frac{1}{7} \right)^2$$

Шаг 2. Основание $\frac{1}{7} < 1$, функция убывающая, поэтому знак меняется на противоположный:

$$2x^2 — 3x \leq 2$$

Шаг 3. Приведём неравенство к стандартному виду:

$$2x^2 — 3x — 2 \leq 0$$

Шаг 4. Решим квадратное неравенство:
Дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Корни:

$$x_1 = \frac{3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 5}{4} = -0.5 \quad,\quad x_2 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Разложим на множители:

$$(x + 0.5)(x — 2) \leq 0$$

Шаг 5. Определим промежуток:

$$-0.5 \leq x \leq 2$$

Шаг 6. Целые значения в этом промежутке:

$$x = 0, 1, 2$$

Всего 3 целых числа.

Ответ: 3

в)

Дано:

$$2^{-x^2 + 8x} > 128$$

Шаг 1. Представим правую часть в виде степени числа 2:

$$128 = 2^7$$

Подставим:

$$2^{-x^2 + 8x} > 2^7$$

Шаг 2. Основание $2 > 1$, функция возрастающая, сравниваем показатели:

$$-x^2 + 8x > 7$$

Шаг 3. Переносим всё в левую часть, меняем знак:

$$x^2 — 8x + 7 < 0$$

Шаг 4. Решим квадратное неравенство:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36$$

Корни:

$$x_1 = \frac{8 — \sqrt{36}}{2} = \frac{8 — 6}{2} = 1 \quad,\quad x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7$$

Разложим на множители:

$$(x — 1)(x — 7) < 0$$

Шаг 5. Решаем неравенство:

$$1 < x < 7$$

Шаг 6. Целые числа в этом интервале:

$$x = 2, 3, 4, 5, 6$$

Их 5.

Ответ: 5

г)

Дано:

$$(0.3)^{x^2 — x} > 0.09$$

Шаг 1. Представим число $0.09$ как степень числа $0.3$:

$$0.3^2 = 0.09$$

Подставим:

$$(0.3)^{x^2 — x} > (0.3)^2$$

Шаг 2. Так как основание $0.3 < 1$, функция убывающая, меняем знак:

$$x^2 — x < 2$$

Шаг 3. Переносим всё в левую часть:

$$x^2 — x — 2 < 0$$

Шаг 4. Решим квадратное неравенство:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$x_1 = \frac{1 — \sqrt{9}}{2} = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad,\quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Разложим:

$$(x + 1)(x — 2) < 0$$

Шаг 5. Решаем неравенство:

$$-1 < x < 2$$

Шаг 6. Целые числа в этом интервале:

$$x = 0, 1$$

Их 2.

Ответ: 2