ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3^{-1-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3}$;

б) $6^{2x-8} = 216^x$;

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7} = 6^{x-3}$;

г) $\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = 1,5^{2x-3}$

а) $3^{-1-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3}$;
$\left(\frac{1}{3}\right)^{1+x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3}$;
$1 + x = 2x + 3$;
$x = -2$;
Ответ: -2.

б) $6^{2x-8} = 216^x$;
$6^{2x-8} = 6^{3x}$;
$2x — 8 = 3x$;
$x = -8$;
Ответ: -8.

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7} = 6^{x-3}$;
$\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7} = \left(\frac{1}{6}\right)^{-x+3}$;
$4x — 7 = -x + 3$;
$5x = 10$;
$x = 2$;
Ответ: 2.

г) $\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = 1,5^{2x-3}$;
$\left(\frac{3}{2}\right)^{-8x-1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x-3}$;
$-8x — 1 = 2x — 3$;
$10x = 2$;
$x = 0,2$;
Ответ: 0,2.

а) $3^{-1 — x} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2x + 3}$

Шаг 1: Запишем левую часть через основание $\dfrac{1}{3}$.

$$3^{-1 — x} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{1 + x}$$

Шаг 2: Подставим это в уравнение:

$$\left( \dfrac{1}{3} \right)^{1 + x} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2x + 3}$$

Шаг 3: Основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$1 + x = 2x + 3$$

Шаг 4: Решаем уравнение:

$$1 + x = 2x + 3 \Rightarrow x — 2x = 3 — 1 \Rightarrow — x = 2 \Rightarrow x = -2$$

Ответ: $-2$

б) $6^{2x — 8} = 216^x$

Шаг 1: Представим 216 как степень числа 6:

$$216 = 6^3 \Rightarrow 216^x = (6^3)^x = 6^{3x}$$

Шаг 2: Подставим в уравнение:

$$6^{2x — 8} = 6^{3x}$$

Шаг 3: Основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$2x — 8 = 3x$$

Шаг 4: Решим уравнение:

$$2x — 3x = 8 \Rightarrow -x = 8 \Rightarrow x = -8$$

Ответ: $-8$

в) $\left( \dfrac{1}{6} \right)^{4x — 7} = 6^{x — 3}$

Шаг 1: Представим правую часть как степень числа $\dfrac{1}{6}$:

$$6^{x — 3} = \left( \dfrac{1}{6} \right)^{-x + 3}$$

Шаг 2: Подставим это в уравнение:

$$\left( \dfrac{1}{6} \right)^{4x — 7} = \left( \dfrac{1}{6} \right)^{-x + 3}$$

Шаг 3: Основания одинаковые, приравниваем показатели степеней:

$$4x — 7 = -x + 3$$

Шаг 4: Решаем уравнение:

$$4x + x = 3 + 7 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$$

Ответ: 2

г) $\left( \dfrac{2}{3} \right)^{8x + 1} = 1{,}5^{2x — 3}$

Шаг 1: Преобразуем оба основания.
Заметим, что:

$$\left( \dfrac{2}{3} \right)^{8x + 1} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-(8x + 1)}$$

А также:

$$1{,}5 = \dfrac{3}{2} \Rightarrow 1{,}5^{2x — 3} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2x — 3}$$

Шаг 2: Подставим в уравнение:

$$\left( \dfrac{3}{2} \right)^{-(8x + 1)} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2x — 3}$$

Шаг 3: Основания одинаковые, приравниваем показатели:

$$— (8x + 1) = 2x — 3 \Rightarrow -8x — 1 = 2x — 3$$

Шаг 4: Решим уравнение:

$$-8x — 2x = -3 + 1 \Rightarrow -10x = -2 \Rightarrow x = \dfrac{-2}{-10} = 0{,}2$$

Ответ: 0,2