ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.60 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $\frac{x^2 + 4x + 4}{3^x — 27} \geq 0$;

б) $\frac{0,2^x — 0,008}{x^2 — 10x + 25} < 0$;

в) $\frac{25 — 0,2^x}{4x^2 — 4x + 1} \leq 0$;

г) $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x — 4} > 0$

Решить неравенство:

а) $\frac{x^2 + 4x + 4}{3^x — 27} \geq 0$;
$\frac{(x + 2)^2}{3x — 33} \geq 0$;
$\frac{(x + 2)^2}{x — 3} \geq 0$;
$x > 3,\ x = -2$;
Ответ: $x \in \{-2\} \cup (3; +\infty)$.

б) $\frac{0,2^x — 0,008}{x^2 — 10x + 25} < 0$;
$\frac{0,2^x — 0,2^3}{(x — 5)^2} < 0$;
$\frac{(x — 5)^2}{x — 3} > 0$;
$x > 3,\ x \ne 5$;
Ответ: $x \in (3; 5) \cup (5; +\infty)$.

в) $\frac{25 — 0,2^x}{4x^2 — 4x + 1} \leq 0$;
$\frac{5^{-x} — 5^2}{(2x — 1)^2} \geq 0$;
$\frac{-x — 2}{4(x — 0,5)^2} \geq 0$;
$\frac{x + 2}{(x — 0,5)^2} \leq 0$;
$x \leq -2,\ x \ne 0,5$;
Ответ: $x \in (-\infty; -2]$.

г) $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x — 4} > 0$;
$\frac{(x + 3)^2}{2x — 2^2} > 0$;
$\frac{(x + 3)^2}{x — 2} > 0$;
$x > 2,\ x \ne -3$;
Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

а)

Решить неравенство:

$$\frac{x^2 + 4x + 4}{3^x — 27} \geq 0$$

Шаг 1. Разложим числитель на множители

Многочлен в числителе:

$$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$

Это полный квадрат. Получаем:

$$\frac{(x + 2)^2}{3^x — 27} \geq 0$$

Шаг 2. Представим знаменатель

$3^x$ — показательная функция. Число $27 = 3^3$. Значит:

$$3^x — 27 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

Тогда:

$$\frac{(x + 2)^2}{3^x — 27} \geq 0$$

Функция определена при всех $x$, кроме $x = 3$, где знаменатель обращается в 0.
Обозначим: $x \ne 3$

Шаг 3. Знаки числителя и знаменателя

• Числитель: $(x + 2)^2 \geq 0$ всегда неотрицателен, равен нулю при $x = -2$
• Знаменатель:
  $3^x — 27$
  • Если $x < 3$, то $3^x < 27$, значит $3^x — 27 < 0$
  • Если $x > 3$, то $3^x > 27$, значит $3^x — 27 > 0$
  • Если $x = 3$, то знаменатель равен 0 (точка разрыва)

Шаг 4. Анализ выражения

Пусть $f(x) = \frac{(x + 2)^2}{3^x — 27}$

Знаменатель меняет знак в точке $x = 3$, числитель всегда $\geq 0$

Выражение:

• Положительно, когда числитель $> 0$ и знаменатель $> 0$ — это при $x > 3$
• Отрицательно, когда числитель $> 0$ и знаменатель $< 0$ — это при $x < 3$
• Равно нулю, когда числитель = 0, то есть при $x = -2$

Шаг 5. Учитываем область допустимых значений

Знаменатель не должен быть равен нулю ⇒ $x \ne 3$

Шаг 6. Ответ

• $x = -2$ — решение (знаменатель ≠ 0, числитель = 0)
• $x > 3$ — решение (дробь положительна)
• Остальные значения — не удовлетворяют

Ответ:

$$x \in \{-2\} \cup (3; +\infty)$$

б)

Решить неравенство:

$$\frac{0{,}2^x — 0{,}008}{x^2 — 10x + 25} < 0$$

Шаг 1. Представим в степени

Заметим, что:

$$0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}, \quad 0{,}008 = 0{,}2^3$$

Значит:

$$\frac{0{,}2^x — 0{,}2^3}{(x — 5)^2} < 0$$

Шаг 2. Числитель и знаменатель

• Знаменатель: $(x — 5)^2 \geq 0$, всегда неотрицателен, обращается в ноль при $x = 5$
• Числитель: $0{,}2^x — 0{,}008$
  • При $x < 3$: $0{,}2^x > 0{,}008$ ⇒ числитель > 0
  • При $x = 3$: числитель = 0
  • При $x > 3$: $0{,}2^x < 0{,}008$ ⇒ числитель < 0

Шаг 3. Определим знаки дроби

Так как знаменатель всегда > 0 (кроме $x = 5$), знак дроби определяется знаком числителя:

• $x < 3$: числитель > 0, дробь > 0
• $x = 3$: числитель = 0, дробь = 0
• $3 < x < 5$: числитель < 0, знаменатель > 0 ⇒ дробь < 0
• $x = 5$: знаменатель = 0 ⇒ ОДЗ: $x \ne 5$
• $x > 5$: числитель < 0, знаменатель > 0 ⇒ дробь < 0

Шаг 4. Ищем, где дробь < 0

• $x \in (3; 5)$
• $x \in (5; +\infty)$

Ответ:

$$x \in (3; 5) \cup (5; +\infty)$$

в)

Решить неравенство:

$$\frac{25 — 0{,}2^x}{4x^2 — 4x + 1} \leq 0$$

Шаг 1. Представим в степенях

Заметим:

• $25 = 5^2$
• $0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} \Rightarrow 0{,}2^x = 5^{-x}$

Получаем:

$$\frac{5^2 — 5^{-x}}{(2x — 1)^2} \leq 0 \Rightarrow \frac{25 — 5^{-x}}{(2x — 1)^2} \leq 0$$

Числитель: $25 — 5^{-x}$

• При $x = -2$: $5^{-x} = 5^2 = 25$ ⇒ числитель = 0
• При $x < -2$: $5^{-x} > 25$ ⇒ числитель < 0
• При $x > -2$: $5^{-x} < 25$ ⇒ числитель > 0

Знаменатель: $(2x — 1)^2 > 0$ при всех $x$, кроме $x = 0{,}5$, где знаменатель = 0

Шаг 2. Определим знак дроби

• $x < -2$: числитель < 0, дробь < 0
• $x = -2$: числитель = 0 ⇒ дробь = 0
• $-2 < x < 0{,}5$: числитель > 0, дробь > 0
• $x = 0{,}5$: знаменатель = 0 ⇒ нет решения
• $x > 0{,}5$: числитель > 0 ⇒ дробь > 0

Итак, неравенство ≤ 0 при:

• $x < -2$
• $x = -2$

Точка $x = 0{,}5$ — исключается

Ответ:

$$x \in (-\infty; -2]$$

г)

Решить неравенство:

$$\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x — 4} > 0$$

Шаг 1. Разложим числитель

$$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \Rightarrow \frac{(x + 3)^2}{2^x — 4} > 0$$

Шаг 2. Знаменатель

$$2^x — 4 = 0 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x = 2$$

Знаменатель > 0 ⇔ $x > 2$

Знаменатель < 0 ⇔ $x < 2$

Знаменатель = 0 ⇔ $x = 2$ (исключается)

Шаг 3. Числитель

$(x + 3)^2 \geq 0$, всегда ≥ 0, равен 0 при $x = -3$

Шаг 4. Исследуем знак всей дроби

• $x < 2$: числитель ≥ 0, знаменатель < 0 ⇒ дробь ≤ 0
• $x > 2$: числитель > 0, знаменатель > 0 ⇒ дробь > 0
• $x = -3$: числитель = 0 ⇒ дробь = 0 (не удовлетворяет)
• $x = 2$: знаменатель = 0 ⇒ точка разрыва

Шаг 5. Решение

Только при $x > 2$ дробь > 0

Ответ:

$$x\in (2;+\mathrm{\infty })$$