ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.61 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\frac{5}{12^x + 143} \geq \frac{5}{12^{x+2}}$;

б) $\frac{16^x + 42}{16^x} \leq 22$;

в) $\frac{8}{11^x + 120} \leq \frac{8}{11^{x+2}}$;

г) $\frac{5^x + 15}{5^x} < 4$

Решить неравенство:

а) $\frac{5}{12^x + 143} \geq \frac{5}{12^{x+2}}$;
$12^x + 143 \leq 12^{x+2}$;
$12^x + 143 \leq 12^2 \cdot 12^x$;
$12^x + 143 \leq 144 \cdot 12^x$;
$143 \cdot 12^x \geq 143$;
$12^x \geq 1$;
$x \geq 0$;
Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

б) $\frac{16^x + 42}{16^x} \leq 22$;
$16^x + 42 \leq 22 \cdot 16^x$;
$21 \cdot 16^x \geq 42$;
$2^{4x} \geq 2$;
$4x \geq 1$;
$x \geq 0{,}25$;
Ответ: $x \in [0{,}25; +\infty)$.

в) $\frac{8}{11^x + 120} \leq \frac{8}{11^{x+2}}$;
$11^x + 120 \geq 11^{x+2}$;
$11^x + 120 \geq 11^2 \cdot 11^x$;
$11^x + 120 \geq 121 \cdot 11^x$;
$120 \cdot 11^x \leq 120$;
$11^x \leq 1$;
$x \leq 0$;
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

г) $\frac{5^x + 15}{5^x} < 4$;
$5^x + 15 < 4 \cdot 5^x$;
$3 \cdot 5^x > 15$;
$5^x > 5$;
$x > 1$;
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

а)

Решить неравенство:

$$\frac{5}{12^x + 143} \geq \frac{5}{12^{x+2}}$$

Шаг 1. Домножим обе части на положительное число 5 (допустимо, знак не изменится):

$$\frac{1}{12^x + 143} \geq \frac{1}{12^{x+2}}$$

Шаг 2. Обе дроби положительные, можно сравнивать знаменатели.

Чем меньше знаменатель, тем больше дробь.
Значит:

$$12^x + 143 \leq 12^{x+2}$$

Шаг 3. Представим правую часть:

$$12^{x+2} = 12^2 \cdot 12^x = 144 \cdot 12^x$$

Подставим:

$$12^x + 143 \leq 144 \cdot 12^x$$

Шаг 4. Переносим $12^x$ в правую часть:

$$143 \leq 143 \cdot 12^x$$

Поделим обе части на 143 (положительное число):

$$1 \leq 12^x$$

Шаг 5. Решаем показательное неравенство:

$$12^x \geq 1 \Rightarrow x \geq 0$$

(так как $12^0 = 1$, и функция $12^x$ возрастает при $x \in \mathbb{R}$)

Ответ:

$$x \in [0; +\infty)$$

б)

Решить неравенство:

$$\frac{16^x + 42}{16^x} \leq 22$$

Шаг 1. Разделим числитель по членам:

$$\frac{16^x}{16^x} + \frac{42}{16^x} \leq 22 \Rightarrow 1 + \frac{42}{16^x} \leq 22$$

Шаг 2. Вычтем 1 из обеих частей:

$$\frac{42}{16^x} \leq 21$$

Шаг 3. Умножим обе части на $16^x > 0$ (допустимо для показательной функции, $16^x > 0$ всегда):

$$42 \leq 21 \cdot 16^x$$

Шаг 4. Разделим обе части на 21:

$$2 \leq 16^x$$

Перепишем:

$$16^x \geq 2$$

Шаг 5. Представим обе стороны с основанием 2:

$$16 = 2^4 \Rightarrow 16^x = (2^4)^x = 2^{4x} \Rightarrow 2^{4x} \geq 2 \Rightarrow 2^{4x} \geq 2^1$$

Теперь сравниваем показатели (основание > 1, знак сохраняется):

$$4x \geq 1 \Rightarrow x \geq \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Ответ:

$$x \in [0{,}25; +\infty)$$

в)

Решить неравенство:

$$\frac{8}{11^x + 120} \leq \frac{8}{11^{x+2}}$$

Шаг 1. Разделим обе части на 8 (положительное число):

$$\frac{1}{11^x + 120} \leq \frac{1}{11^{x+2}}$$

Шаг 2. Сравним дроби: они положительны, и чем меньше знаменатель, тем больше дробь.

Значит:

$$11^x + 120 \geq 11^{x+2}$$

Шаг 3. Представим $11^{x+2}$ как:

$$11^{x+2} = 11^2 \cdot 11^x = 121 \cdot 11^x$$

Подставим:

$$11^x + 120 \geq 121 \cdot 11^x$$

Шаг 4. Переносим $11^x$ в правую часть:

$$120 \geq 120 \cdot 11^x$$

Разделим обе части на 120:

$$1 \geq 11^x \Rightarrow 11^x \leq 1$$

Шаг 5. Решим показательное неравенство:

$11^x \leq 1$
Так как $11^0 = 1$, и функция $11^x$ возрастает:

$$x \leq 0$$

Ответ:

$$x \in (-\infty; 0]$$

г)

Решить неравенство:

$$\frac{5^x + 15}{5^x} < 4$$

Шаг 1. Разделим числитель по членам:

$$\frac{5^x}{5^x} + \frac{15}{5^x} < 4 \Rightarrow 1 + \frac{15}{5^x} < 4$$

Шаг 2. Вычтем 1 из обеих частей:

$$\frac{15}{5^x} < 3$$

Шаг 3. Умножим обе части на $5^x > 0$:

$$15 < 3 \cdot 5^x \Rightarrow 5^x > 5$$

Шаг 4. Представим 5 как степень:

$$5^x > 5^1 \Rightarrow x > 1$$

Ответ:

$$x \in (1; +\infty)$$