ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.62 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\mathrm{}}^{}$$2^{6x-10} — 9 \cdot 2^{3x-5} + 8 \leq 0$;

б) $$$5^{2x+1} — 5^{x+2} \leq 5^x — 5$;

в) ${\mathrm{}}^{}$$3^{8x+6} — 10 \cdot 3^{4x+3} + 9 \geq 0$;

г) ${\mathrm{}}^{}$$3^{2x+2} — 3^{x+4} < 3^x — 9$

Решить неравенство:

а) ${\mathrm{}}^{}$$2^{6x-10} — 9 \cdot 2^{3x-5} + 8 \leq 0$;
$2^{2(3x-5)} — 9 \cdot 2^{3x-5} + 8 \leq 0$;

Пусть $y = 2^{3x-5}$, тогда:
$y^2 — 9y + 8 \leq 0$;
$D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49$, тогда:
$y_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8$;
$(y — 1)(y — 8) \leq 0$;
$1 \leq y \leq 8$;

Первое значение:
$2^{3x-5} \geq 1$;
$3x — 5 \geq 0$;
$3x \geq 5$;
$x \geq 1\frac{2}{3}$;

Второе значение:
$2^{3x-5} \leq 8$;
$3x — 5 \leq 3$;
$3x \leq 8$;
$x \leq 2\frac{2}{3}$;

Ответ: $x \in \left[1\frac{2}{3}; 2\frac{2}{3}\right]$.

б) $$$5^{2x+1} — 5^{x+2} \leq 5^x — 5$;
$5 \cdot 5^{2x} — 25 \cdot 5^x — 5^x + 5 \leq 0$;
$5 \cdot 5^{2x} — 26 \cdot 5^x + 5 \leq 0$;

Пусть $y = 5^x$, тогда:
$5y^2 — 26y + 5 \leq 0$;
$D = 26^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 — 100 = 576$, тогда:
$y_1 = \frac{26 — 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$;
$y_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$;
$\left(y — \frac{1}{5}\right)(y — 5) \leq 0$;
$\frac{1}{5} \leq y \leq 5$;

Первое значение:
$5^x \geq \frac{1}{5}$;
$x \geq -1$;

Второе значение:
$5^x \leq 5$;
$x \leq 1$;

Ответ: $x \in [-1; 1]$.

в) ${\mathrm{}}^{}$$3^{8x+6} — 10 \cdot 3^{4x+3} + 9 \geq 0$;
$3^{2(4x+3)} — 10 \cdot 3^{4x+3} + 9 \geq 0$;

Пусть $y = 3^{4x+3}$, тогда:
$y^2 — 10y + 9 \geq 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$, тогда:
$y_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$;
$(y — 1)(y — 9) \geq 0$;
$y \leq 1$ или $y \geq 9$;

Первое значение:
$3^{4x+3} \leq 1$;
$4x + 3 \leq 0$;
$4x \leq -3$;
$x \leq -0,75$;

Второе значение:
$3^{4x+3} \geq 9$;
$4x + 3 \geq 2$;
$4x \geq -1$;
$x \geq -0,25$;

Ответ: $x \in (-\infty; -0,75] \cup [-0,25; +\infty)$.

г) ${\mathrm{}}^{}$$3^{2x+2} — 3^{x+4} < 3^x — 9$;
$9 \cdot 3^{2x} — 81 \cdot 3^x — 3^x + 9 < 0$;
$9 \cdot 3^{2x} — 82 \cdot 3^x + 9 < 0$;

Пусть $y = 3^x$, тогда:
$9y^2 — 82y + 9 < 0$;
$D = 82^2 — 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 — 324 = 6400$, тогда:
$y_1 = \frac{82 — 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$;
$y_2 = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{162}{18} = 9$;
$\left(y — \frac{1}{9}\right)(y — 9) < 0$;
$\frac{1}{9} < y < 9$;

Первое значение:
$3^x > \frac{1}{9}$;
$x > -2$;

Второе значение:
$3^x < 9$;
$x < 2$;

Ответ: $x \in (-2; 2)$.

а)

Решить неравенство:

$$2^{6x — 10} — 9 \cdot 2^{3x — 5} + 8 \leq 0$$

Шаг 1. Заметим:

$$2^{6x — 10} = (2^{3x — 5})^2$$

Тогда:

$$2^{6x — 10} — 9 \cdot 2^{3x — 5} + 8 = (2^{3x — 5})^2 — 9 \cdot 2^{3x — 5} + 8$$

Шаг 2. Обозначим:

$$y = 2^{3x — 5}, \quad \text{(так как } 2^{3x — 5} > 0 \text{ для всех } x \in \mathbb{R})$$

Подставим в неравенство:

$$y^2 — 9y + 8 \leq 0$$

Шаг 3. Решим квадратное неравенство:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49$$ $$y_1 = \frac{9 — \sqrt{49}}{2} = \frac{2}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$(y — 1)(y — 8) \leq 0$$

Шаг 4. Решаем неравенство:

$$y \in [1; 8]$$

Шаг 5. Вернёмся к $y = 2^{3x — 5}$

Переведём обратно:

1. $2^{3x — 5} \geq 1 \Rightarrow 3x — 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{5}{3}$
2. $2^{3x — 5} \leq 8 \Rightarrow 3x — 5 \leq 3 \Rightarrow x \leq \frac{8}{3}$

Шаг 6. Совместим:

$$x \in \left[\frac{5}{3}; \frac{8}{3}\right]$$

Или:

$$x \in \left[1\frac{2}{3}; 2\frac{2}{3}\right]$$

Ответ:

$$x \in \left[1\frac{2}{3}; 2\frac{2}{3}\right]$$

б)

Решить неравенство:

$$5^{2x + 1} — 5^{x + 2} \leq 5^x — 5$$

Шаг 1. Представим все с одинаковыми степенями:

• $5^{2x + 1} = 5 \cdot 5^{2x}$
• $5^{x + 2} = 25 \cdot 5^x$

Подставим:

$$5 \cdot 5^{2x} — 25 \cdot 5^x \leq 5^x — 5$$

Шаг 2. Перенесём всё в одну часть:

$$5 \cdot 5^{2x} — 25 \cdot 5^x — 5^x + 5 \leq 0$$ $$5 \cdot 5^{2x} — 26 \cdot 5^x + 5 \leq 0$$

Шаг 3. Подстановка:

Пусть $y = 5^x$, тогда $y > 0$

$$5y^2 — 26y + 5 \leq 0$$

Шаг 4. Решим квадратное неравенство:

$$D = (-26)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 — 100 = 576$$ $$y_1 = \frac{26 — \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{26 — 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$ $$y_2 = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5$$ $$( y — \frac{1}{5})(y — 5) \leq 0 \Rightarrow y \in \left[\frac{1}{5}; 5\right]$$

Шаг 5. Вернёмся к $y = 5^x$

1. $5^x \geq \frac{1}{5} \Rightarrow x \geq -1$
2. $5^x \leq 5 \Rightarrow x \leq 1$

Шаг 6. Ответ:

$$x \in [-1; 1]$$

в)

Решить неравенство:

$$3^{8x + 6} — 10 \cdot 3^{4x + 3} + 9 \geq 0$$

Шаг 1. Заметим:

$$3^{8x + 6} = (3^{4x + 3})^2$$

Подстановка:

$$y = 3^{4x + 3} > 0$$

Подставим:

$$y^2 — 10y + 9 \geq 0$$

Шаг 2. Решим квадратное неравенство:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$$ $$y_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$$ $$(y — 1)(y — 9) \geq 0 \Rightarrow y \leq 1 \quad \text{или} \quad y \geq 9$$

Шаг 3. Вернёмся к $y = 3^{4x + 3}$

Первое условие:

$$3^{4x + 3} \leq 1 \Rightarrow 4x + 3 \leq 0 \Rightarrow x \leq -\frac{3}{4}$$

Второе условие:

$$3^{4x + 3} \geq 9 \Rightarrow 4x + 3 \geq 2 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{4}$$

Шаг 4. Ответ:

$$x \in (-\infty; -0{,}75] \cup [-0{,}25; +\infty)$$

г)

Решить неравенство:

$$3^{2x+2} — 3^{x+4} < 3^x — 9$$

Шаг 1. Представим степени:

• $3^{2x+2} = 9 \cdot 3^{2x}$
• $3^{x+4} = 81 \cdot 3^x$

Подставим:

$$9 \cdot 3^{2x} — 81 \cdot 3^x < 3^x — 9$$

Перенесём всё влево:

$$9 \cdot 3^{2x} — 82 \cdot 3^x + 9 < 0$$

Шаг 2. Подстановка:

Пусть $y = 3^x > 0$

Тогда:

$$9y^2 — 82y + 9 < 0$$

Шаг 3. Решим квадратное неравенство:

$$D = (-82)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 — 324 = 6400$$ $$y_1 = \frac{82 — 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$$ $$y_2 = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{162}{18} = 9$$ $$(y — \frac{1}{9})(y — 9) < 0 \Rightarrow y \in \left( \frac{1}{9}; 9 \right)$$

Шаг 4. Вернёмся к $y = 3^x$

1. $3^x > \frac{1}{9} \Rightarrow x > -2$
2. $3^x < 9 \Rightarrow x < 2$

Шаг 5. Ответ:

$$x \in (-2; 2)$$

Итоговые ответы:

а) $x \in \left[1\frac{2}{3}; 2\frac{2}{3}\right]$
б) $x \in [-1; 1]$
в) $x \in (-\infty; -0{,}75] \cup [-0{,}25; +\infty)$
г) $x \in (-2; 2)$