ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.64 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите неравенство:

а) $$$(x — 6)(5^{x-6} — 25) < 0$;

б)$$$(2x + 1)(3^{3 — x} — 9) > 0$

Решить неравенство:

а) $$$(x — 6)(5^{x-6} — 25) < 0$;
$(x — 6)(5^{x-6} — 5^2) < 0$;
$(x — 6)((x — 6) — 2) < 0$;
$(x — 6)(x — 8) < 0$;
$6 < x < 8$;
Ответ: $x \in (6; 8)$.

б)$$$(2x + 1)(3^{3 — x} — 9) > 0$;
$2(x + 0{,}5)(3^{3 — x} — 3^2) > 0$;
$(x + 0{,}5)((3 — x) — 2) > 0$;
$(x + 0{,}5)(1 — x) > 0$;
$(x + 0{,}5)(x — 1) < 0$;
$-0{,}5 < x < 1$;
Ответ: $x \in (-0{,}5; 1)$.

а) Решить неравенство:

$$(x — 6)(5^{x — 6} — 25) < 0$$

Шаг 1. Представим число 25 как степень числа 5:

$$25 = 5^2$$

Подставим:

$$(x — 6)(5^{x — 6} — 5^2) < 0$$

Шаг 2. Обозначим $t = x — 6$, тогда:

$$t(5^t — 25) < 0$$

Шаг 3. Заметим, что $5^t = 25 \Rightarrow t = 2$, потому что $5^2 = 25$

Подставим обратно $t = x — 6$:

$$(x — 6)(x — 6 — 2) < 0 \Rightarrow (x — 6)(x — 8) < 0$$

Шаг 4. Решим неравенство:
Произведение двух выражений меньше нуля тогда и только тогда, когда они имеют разные знаки.
Рассмотрим корни: $x = 6$, $x = 8$

На числовой прямой:

• при $x < 6$: оба множителя отрицательны, произведение положительно
• при $x = 6$ или $x = 8$: произведение равно нулю
• при $6 < x < 8$: один множитель положительный, другой — отрицательный ⇒ произведение отрицательно
• при $x > 8$: оба положительны ⇒ произведение положительно

Следовательно, неравенство выполняется только на интервале:

$$x \in (6; 8)$$

Ответ: $x \in (6; 8)$

б) Решить неравенство:

$$(2x + 1)(3^{3 — x} — 9) > 0$$

Шаг 1. Представим 9 как степень числа 3:

$$9 = 3^2 \Rightarrow (2x + 1)(3^{3 — x} — 3^2) > 0$$

Шаг 2. Вынесем множитель 2 за скобку:

$$2(x + 0{,}5)(3^{3 — x} — 9) > 0$$

Шаг 3. Рассмотрим выражение $3^{3 — x} = 9$

Тогда:

$$3 — x = 2 \Rightarrow x = 1$$

Значит:

$$(x + 0{,}5)(3 — x — 2) > 0 \Rightarrow (x + 0{,}5)(1 — x) > 0$$

Шаг 4. Преобразуем:

$$(x + 0{,}5)(x — 1) < 0$$

Шаг 5. Решим неравенство:
Произведение двух множителей меньше нуля, когда они имеют разные знаки.
Найдём нули: $x = -0{,}5$ и $x = 1$

На числовой прямой:

• при $x < -0{,}5$: оба множителя отрицательны ⇒ произведение положительно
• при $-0{,}5 < x < 1$: множители разных знаков ⇒ произведение отрицательно
• при $x > 1$: оба положительны ⇒ произведение положительно

Но нам нужно:

$$(x + 0{,}5)(x — 1) < 0 \Rightarrow x \in (-0{,}5; 1)$$

Ответ: $x \in (-0{,}5; 1)$