ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.66 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^{2-x} > 2x — 3$;

б) $3^{3-2x} \leq 2x + 1$

Решить неравенство:

а) $2^{2-x} > 2x — 3$;

$2^2 \cdot 2^{-x} > 2x — 3$;

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{2}x — \frac{3}{4}$;

Функция $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ убывает на $R$;

Функция $g(x) = \frac{1}{2}x — \frac{3}{4}$ возрастает на $R$;

Методом перебора найдем пересечение:

$f(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$;

$g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$;

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) $3^{3-2x} \leq 2x + 1$;

$3^3 \cdot 3^{-2x} \leq 2x + 1$;

$\left(\frac{1}{9}\right)^x \leq \frac{2}{27}x + \frac{1}{27}$;

Функция $f(x) = \left(\frac{1}{9}\right)^x$ убывает на $R$;

Функция $g(x) = \frac{2}{27}x + \frac{1}{27}$ возрастает на $R$;

Методом перебора найдем пересечение:

$f(1) = \left(\frac{1}{9}\right)^1 = \frac{1}{9}$;

$g(1) = \frac{2}{27} \cdot 1 + \frac{1}{27} = \frac{1}{9}$;

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

Решить неравенство:

а) $2^{2 — x} > 2x — 3$

Рассмотрим левую часть: $2^{2 — x}$

Представим её в виде произведения степеней:

$2^{2 — x} = 2^2 \cdot 2^{-x}$

$= 4 \cdot 2^{-x}$

$= \frac{4}{2^x}$

Получаем:

$\frac{4}{2^x} > 2x — 3$

Домножим обе части неравенства на $2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$, знак неравенства сохраняется:

$4 > (2x — 3) \cdot 2^x$

Рассмотрим функцию $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Преобразуем левую часть:

$\frac{4}{2^x} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Тогда исходное неравенство можно переписать в виде:

$4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x > 2x — 3$

Разделим обе части на 4:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{2}x — \frac{3}{4}$

Пусть $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $g(x) = \frac{1}{2}x — \frac{3}{4}$

Функция $f(x)$ является показательной с основанием $\frac{1}{2}$, это число меньше 1, значит функция убывает на всей числовой прямой $R$

Функция $g(x)$ — линейная, коэффициент перед $x$ положительный, значит функция возрастает на всей числовой прямой $R$

Так как одна функция убывает, а другая возрастает, они могут пересекаться не более одного раза. Найдём точку пересечения:

Решим уравнение:
$\left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{2}x — \frac{3}{4}$

Методом подбора подставим $x = 2$:

$f(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

$g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2 — \frac{3}{4} = 1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Значит, при $x = 2$ функции равны, графики пересекаются

Теперь определим, при каких $x$ функция $f(x)$ больше функции $g(x)$:

Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то при $x < 2$ выполняется $f(x) > g(x)$, а при $x > 2$ наоборот: $f(x) < g(x)$

Значит, решением неравенства является:

$x \in (-\infty; 2)$

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$

б) $3^{3 — 2x} \leq 2x + 1$

Рассмотрим левую часть:

$3^{3 — 2x} = 3^3 \cdot 3^{-2x} = 27 \cdot 3^{-2x} = \frac{27}{3^{2x}}$

Получаем:

$\frac{27}{3^{2x}} \leq 2x + 1$

Представим это в виде:

$\left(\frac{1}{9}\right)^x = \frac{1}{3^{2x}}$

Тогда:

$\frac{27}{3^{2x}} = 27 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^x$

Получаем:

$27 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^x \leq 2x + 1$

Разделим обе части на 27:

$\left(\frac{1}{9}\right)^x \leq \frac{2}{27}x + \frac{1}{27}$

Пусть $f(x) = \left(\frac{1}{9}\right)^x$, $g(x) = \frac{2}{27}x + \frac{1}{27}$

Функция $f(x)$ — показательная с основанием $\frac{1}{9} < 1$, значит она убывает на всей числовой прямой $R$

Функция $g(x)$ — линейная, коэффициент перед $x$ положительный, значит она возрастает на всей числовой прямой $R$

Найдём точку пересечения:

$\left(\frac{1}{9}\right)^x = \frac{2}{27}x + \frac{1}{27}$

Подставим $x = 1$:

$f(1) = \left(\frac{1}{9}\right)^1 = \frac{1}{9}$

$g(1) = \frac{2}{27} \cdot 1 + \frac{1}{27} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

Функции равны при $x = 1$

Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то при $x > 1$ выполняется $f(x) < g(x)$, а при $x < 1$ — $f(x) > g(x)$

А нам нужно найти, когда:

$\left(\frac{1}{9}\right)^x \leq \frac{2}{27}x + \frac{1}{27}$

То есть $f(x) \leq g(x)$, это выполняется при $x \geq 1$

Ответ: $x \in [1; +\infty)$