ГДЗ 10-11 Класс Номер 40.67 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2x + 2 — x^2 \geq 3^{x^2 — 2x + 2}$;

б) $2^{x^2 — 4x + 5} \geq 4x — 2 — x^2$

Решить неравенство:

а) $2x + 2 — x^2 \geq 3^{x^2 — 2x + 2}$;

Пусть $t = x^2 — 2x$, тогда:

$2 — t \geq 3^{t+2}$;

Функция $f(x) = 2 — t$ убывает на $R$;

Функция $g(x) = 3^{t+2}$ возрастает на $R$;

Методом перебора найдем пересечение:

$f(-1) = 2 — (-1) = 3$;

$g(-1) = 3^{-1+2} = 3$;

$t \leq -1$;

Вернем замену:

$x^2 — 2x \leq -1$;

$x^2 — 2x + 1 \leq 0$;

$(x — 1)^2 \leq 0$;

$x — 1 = 0$;

$x = 1$;

Ответ: $x = 1$.

б) $2^{x^2 — 4x + 5} \geq 4x — 2 — x^2$;

Пусть $t = x^2 — 4x$, тогда:

$2^{t+5} \geq -t — 2$;

Функция $f(x) = 2^{t+5}$ возрастает на $R$;

Функция $g(x) = -t — 2$ убывает на $R$;

Методом перебора найдем пересечение:

$f(-4) = 2^{-4+5} = 2$;

$t(-4) = -(-4) — 2 = 2$;

$t \geq -4$;

Вернем замену:

$x^2 — 4x \geq -4$;

$x^2 — 4x + 4 \geq 0$;

$(x — 2)^2 \geq 0$;

$x \in R$;

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

а) Решить неравенство:

$$2x + 2 — x^2 \geq 3^{x^2 — 2x + 2}$$

Шаг 1: Преобразуем левую часть

Перепишем левую часть в виде:

$$— x^2 + 2x + 2$$

Это квадратный трёхчлен, который можно представить через замену:

$$x^2 — 2x = t \quad \text{(временная замена)}$$

Тогда:

• $x^2 = t + 2x$
• Подставим в левую часть:

$$2x + 2 — x^2 = 2x + 2 — (t + 2x) = 2 — t$$

Таким образом, исходное неравенство превращается в:

$$2 — t \geq 3^{t + 2}$$

Шаг 2: Исследуем функции

Рассмотрим функцию:

• Левая часть: $f(t) = 2 — t$ — это линейная функция с отрицательным коэффициентом перед $t$, то есть убывает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$
• Правая часть: $g(t) = 3^{t+2}$ — это показательная функция с основанием $3 > 1$, значит возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$

Шаг 3: Метод перебора — найдём точку пересечения

Подберём значение $t$, при котором:

$$2 — t = 3^{t + 2}$$

Проверим $t = -1$:

• Левая часть: $f(-1) = 2 — (-1) = 3$
• Правая часть: $g(-1) = 3^{-1 + 2} = 3^1 = 3$

Значит, при $t = -1$ обе части равны. Это — точка пересечения графиков.

Шаг 4: Определим знак неравенства

Так как $f(t)$ убывает, а $g(t)$ возрастает, то:

• при $t < -1$: $f(t) > g(t)$
• при $t = -1$: $f(t) = g(t)$
• при $t > -1$: $f(t) < g(t)$

Нас интересует область, где:

$$f(t) \geq g(t) \Rightarrow t \leq -1$$

Шаг 5: Возврат к переменной $x$

Мы ранее обозначили $t = x^2 — 2x$

Подставим обратно:

$$x^2 — 2x \leq -1 \Rightarrow x^2 — 2x + 1 \leq 0 \Rightarrow (x — 1)^2 \leq 0$$

Квадрат выражения меньше либо равен нулю только в одной точке, когда:

$$(x — 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$$

Ответ к пункту а:

$$x = 1$$

б) Решить неравенство:

$$2^{x^2 — 4x + 5} \geq 4x — 2 — x^2$$

Шаг 1: Упростим правую часть

Перепишем правую часть:

$$4x — 2 — x^2 = -x^2 + 4x — 2$$

Сделаем замену:

$$x^2 — 4x = t \Rightarrow x^2 = t + 4x$$

Тогда:

$$x^2 — 4x + 5 = t + 5$$

А:

$$-x^2 + 4x — 2 = — (t + 4x) + 4x — 2 = -t — 2$$

Таким образом, исходное неравенство преобразуется в:

$$2^{t + 5} \geq -t — 2$$

Шаг 2: Исследуем функции

• Левая часть: $f(t) = 2^{t+5}$ — показательная функция, возрастает на всей числовой прямой
• Правая часть: $g(t) = -t — 2$ — линейная функция с отрицательным коэффициентом, убывает на всей числовой прямой

Шаг 3: Найдём точку пересечения

Решим:

$$2^{t + 5} = -t — 2$$

Методом подбора: попробуем $t = -4$

• Левая часть: $f(-4) = 2^{-4 + 5} = 2^1 = 2$
• Правая часть: $g(-4) = -(-4) — 2 = 4 — 2 = 2$

Равенство выполняется при $t = -4$

Шаг 4: Определим знак неравенства

Так как $f(t)$ возрастает, а $g(t)$ убывает, то:

• при $t < -4$: $f(t) < g(t)$
• при $t = -4$: $f(t) = g(t)$
• при $t > -4$: $f(t) > g(t)$

Нас интересует область:

$$f(t) \geq g(t) \Rightarrow t \geq -4$$

Шаг 5: Возврат к переменной $x$

Мы обозначили $t = x^2 — 4x$

Получаем:

$$x^2 — 4x \geq -4 \Rightarrow x^2 — 4x + 4 \geq 0 \Rightarrow (x — 2)^2 \geq 0$$

Квадрат выражения всегда больше либо равен нулю при любом $x$

Ответ к пункту б:

$$x \in (-\infty; +\infty)$$