ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_9 x = \frac{1}{2}$;

б) $\log_{0{,}027} x = \frac{2}{3}$;

в) $\log_8 x = \frac{1}{3}$;

г) $\log_{0{,}25} x = \frac{3}{2}$

Решить уравнение:

а) $\log_9 x = \frac{1}{2}$;
$x = 9^{\frac{1}{2}} = (3^2)^{\frac{1}{2}} = 3$;
Ответ: 3.

б) $\log_{0{,}027} x = \frac{2}{3}$;
$x = 0{,}027^{\frac{2}{3}} = (0{,}3^3)^{\frac{2}{3}} = 0{,}3^2 = 0{,}09$;
Ответ: 0,09.

в) $\log_8 x = \frac{1}{3}$;
$x = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2$;
Ответ: 2.

г) $\log_{0{,}25} x = \frac{3}{2}$;
$x = 0{,}25^{\frac{3}{2}} = (0{,}5^2)^{\frac{3}{2}} = 0{,}5^3 = 0{,}125$;
Ответ: 0,125.

а) $\log_9 x = \frac{1}{2}$

Шаг 1. Используем определение логарифма:

$$\log_a x = b \quad \Longrightarrow \quad x = a^b$$

Шаг 2. Подставляем значения:

$$x = 9^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 3. Представим 9 как степень:

$$9 = 3^2 \quad \Rightarrow \quad x = (3^2)^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 4. Применим свойство степеней:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ $$(3^2)^{\frac{1}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 3^1 = 3$$

Шаг 5. Проверка:

$$\log_9 3 = \frac{1}{2} \quad \text{(так как } 9^{1/2} = 3)$$

Ответ: 3

б) $\log_{0{,}027} x = \frac{2}{3}$

Шаг 1. По определению логарифма:

$$x = 0{,}027^{\frac{2}{3}}$$

Шаг 2. Представим $0{,}027$ как степень:

$$0{,}027 = 0{,}3^3$$

(Пояснение: $0{,}3^3 = 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}027$)

Шаг 3. Подставим это в выражение:

$$x = (0{,}3^3)^{\frac{2}{3}}$$

Шаг 4. Применим правило степеней:

$$(0{,}3^3)^{\frac{2}{3}} = 0{,}3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 0{,}3^2$$

Шаг 5. Вычислим:

$$0{,}3^2 = 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$$

Шаг 6. Проверка:

$$\log_{0{,}027} 0{,}09 = \frac{2}{3}$$

Ответ: 0,09

в) $\log_8 x = \frac{1}{3}$

Шаг 1. Преобразуем по определению логарифма:

$$x = 8^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 2. Представим 8 как степень:

$$8 = 2^3 \quad \Rightarrow \quad x = (2^3)^{\frac{1}{3}}$$

Шаг 3. Используем свойство степеней:

$$(2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$$

Шаг 4. Проверка:

$$\log_8 2 = \frac{1}{3}$$

Ответ: 2

г) $\log_{0{,}25} x = \frac{3}{2}$

Шаг 1. Используем определение логарифма:

$$x = 0{,}25^{\frac{3}{2}}$$

Шаг 2. Представим $0{,}25$ как степень:

$$0{,}25 = 0{,}5^2$$

(Так как $0{,}5^2 = 0{,}25$)

Шаг 3. Подставим:

$$x = (0{,}5^2)^{\frac{3}{2}}$$

Шаг 4. Используем свойство степеней:

$$(0{,}5^2)^{\frac{3}{2}} = 0{,}5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 0{,}5^3$$

Шаг 5. Вычисляем:

$$0{,}5^3 = 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125$$

Шаг 6. Проверка:

$$\log_{0{,}25} 0{,}125 = \frac{3}{2}$$

Ответ: 0,125