ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_4 x = -\frac{1}{2}$;

б) $\log_{0{,}125} x = -\frac{2}{3}$;

в) $\log_{32} x = -\frac{4}{5}$;

г) $\log_{0{,}01} x = -\frac{3}{2}$

Решить уравнение:

а) $\log_4 x = -\frac{1}{2}$;
$x = 4^{-\frac{1}{2}} = (2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5$;
Ответ: 0,5.

б) $\log_{0{,}125} x = -\frac{2}{3}$;
$x = 0{,}125^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$;
Ответ: 4.

в) $\log_{32} x = -\frac{4}{5}$;
$x = 32^{-\frac{4}{5}} = (2^5)^{-\frac{4}{5}} = 2^{-4} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$;
Ответ: $\frac{1}{16}$.

г) $\log_{0{,}01} x = -\frac{3}{2}$;
$x = 0{,}01^{\frac{3}{2}} = (100)^{\frac{3}{2}} = (10^2)^{\frac{3}{2}} = 10^3 = 1000$;
Ответ: 1000.

а) $\log_4 x = -\frac{1}{2}$

Шаг 1. Используем определение логарифма:

$$\log_a x = b \quad \Longrightarrow \quad x = a^b$$

Шаг 2. Подставим:

$$x = 4^{-\frac{1}{2}}$$

Шаг 3. Представим 4 как $2^2$:

$$x = (2^2)^{-\frac{1}{2}}$$

Шаг 4. Используем свойство степеней:

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} \Rightarrow (2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-1}$$

Шаг 5. Преобразуем:

$$2^{-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$

Шаг 6. Проверка:

$$\log_4 0{,}5 = -\frac{1}{2} \quad \text{(так как } 4^{-1/2} = \frac{1}{2})$$

Ответ: 0,5

б) $\log_{0{,}125} x = -\frac{2}{3}$

Шаг 1. По определению логарифма:

$$x = 0{,}125^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 2. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

$$0{,}125 = \frac{1}{8}$$

Шаг 3. Подставим:

$$x = \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 4. Отрицательная степень превращает дробь в обратную:

$$\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}}$$

Шаг 5. Представим 8 как $2^3$:

$$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}}$$

Шаг 6. Используем свойство степеней:

$$(2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$$

Шаг 7. Проверка:

$$\log_{0{,}125} 4 = -\frac{2}{3}$$

Ответ: 4

в) $\log_{32} x = -\frac{4}{5}$

Шаг 1. По определению логарифма:

$$x = 32^{-\frac{4}{5}}$$

Шаг 2. Представим 32 как $2^5$:

$$x = (2^5)^{-\frac{4}{5}}$$

Шаг 3. Применим свойство степеней:

$$(2^5)^{-\frac{4}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{4}{5})} = 2^{-4}$$

Шаг 4. Отрицательная степень — это обратная величина:

$$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$$

Шаг 5. Проверка:

$$\log_{32} \left( \frac{1}{16} \right) = -\frac{4}{5}$$

Ответ: $\frac{1}{16}$

г) $\log_{0{,}01} x = -\frac{3}{2}$

Шаг 1. По определению логарифма:

$$x = 0{,}01^{\frac{3}{2}}$$

Шаг 2. Представим $0{,}01$ как обыкновенную дробь:

$$0{,}01 = \frac{1}{100}$$

Шаг 3. Возведение в степень:

$$\left(\frac{1}{100}\right)^{\frac{3}{2}} = (100)^{-\frac{3}{2}}$$

Шаг 4. Вычисляем:

$$100^{-\frac{3}{2}} = \left(10^2\right)^{-\frac{3}{2}} = 10^{-3}$$

Шаг 5. Переход к положительной степени:

$$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$$

$$x = 0{,}01^{\frac{3}{2}} = (10^{-2})^{\frac{3}{2}} = 10^{-3} = \frac{1}{1000}$$

$$x = 0{,}01^{-\frac{3}{2}} = (10^{-2})^{-\frac{3}{2}} = 10^3 = 1000$$

Ответ: 1000

Итоговые ответы:

а) 0,5
б) 4
в) $\frac{1}{16}$
г) 1000