ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_x 4 = 2$;

б) $\log_x 27 = 3$;

в) $\log_x 49 = 2$;

г) $\log_x 125 = 3$

Решить уравнение:

а) $\log_x 4 = 2$;
$x^2 = 4$;
$x = \sqrt{4} = 2$;
Ответ: 2.

б) $\log_x 27 = 3$;
$x^3 = 27$;
$x = \sqrt[3]{27} = 3$;
Ответ: 3.

в) $\log_x 49 = 2$;
$x^2 = 49$;
$x = \sqrt{49} = 7$;
Ответ: 7.

г) $\log_x 125 = 3$;
$x^3 = 125$;
$x = \sqrt[3]{125} = 5$;
Ответ: 5.

Во всех случаях используется определение логарифма:

$$\log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b$$

а) $\log_x 4 = 2$

Шаг 1. Применим определение логарифма:

$$\log_x 4 = 2 \quad \Longrightarrow \quad x^2 = 4$$

Шаг 2. Это простейшее квадратное уравнение. Из него:

$$x^2 = 4$$

Шаг 3. Извлекаем квадратный корень:

$$x = \sqrt{4}$$

Шаг 4. Получаем:

$$x = 2$$

Шаг 5. Почему не берём отрицательный корень $x = -2$?
Потому что основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равно 1 (по определению логарифма).
→ $x > 0, \; x \ne 1$

Проверка:

$$\log_2 4 = 2 \quad \text{(верно, так как } 2^2 = 4)$$

Ответ: 2

б) $\log_x 27 = 3$

Шаг 1. По определению логарифма:

$$\log_x 27 = 3 \quad \Longrightarrow \quad x^3 = 27$$

Шаг 2. Это кубическое уравнение.

$$x^3 = 27$$

Шаг 3. Извлекаем кубический корень:

$$x = \sqrt[3]{27}$$

Шаг 4. Получаем:

$$x = 3$$

Шаг 5. Проверка условий:

• $x = 3 > 0$ — подходит
• $x \ne 1$ — тоже выполняется

Проверка:

$$\log_3 27 = 3 \quad \text{(так как } 3^3 = 27)$$

Ответ: 3

в) $\log_x 49 = 2$

Шаг 1. По определению:

$$x^2 = 49$$

Шаг 2. Извлекаем квадратный корень:

$$x = \sqrt{49}$$

Шаг 3. Получаем:

$$x = 7$$

Шаг 4. Не берём $x = -7$, потому что логарифм требует $x > 0$

Шаг 5. Проверка:

$$\log_7 49 = 2 \quad \text{(так как } 7^2 = 49)$$

Ответ: 7

г) $\log_x 125 = 3$

Шаг 1. По определению логарифма:

$$x^3 = 125$$

Шаг 2. Извлекаем кубический корень:

$$x = \sqrt[3]{125}$$

Шаг 3. Получаем:

$$x = 5$$

Шаг 4. Проверка условия:

• $x = 5 > 0$ — допустимо
• $x \ne 1$ — тоже верно

Шаг 5. Проверка:

$$\log_5 125 = 3 \quad \text{(так как } 5^3 = 125)$$

Ответ: 5$x \ne 1$

Итоговые ответы:

а) 2
б) 3
в) 7
г) 5