ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\log_x \frac{1}{27} = -3$;

б) $\log_x 4 = -\frac{1}{2}$;

в) $\log_x \frac{1}{16} = -4$;

г) $\log_x 8 = -\frac{1}{3}$

а) $\log_x \frac{1}{27} = -3$;
$x^{-3} = \frac{1}{27}$;
$x^3 = 27$;
$x = \sqrt[3]{27} = 3$;
Ответ: 3.

б) $\log_x 4 = -\frac{1}{2}$;
$x^{-\frac{1}{2}} = 4$;
$x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}$;
$x = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$;
Ответ: $\frac{1}{16}$.

в) $\log_x \frac{1}{16} = -4$;
$x^{-4} = \frac{1}{16}$;
$x^4 = 16$;
$x = \sqrt[4]{16} = 2$;
Ответ: 2.

г) $\log_x 8 = -\frac{1}{3}$;
$x^{-\frac{1}{3}} = 8$;
$x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{8}$;
$x^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{1}{8}\right)^3 = \frac{1}{512}$;
Ответ: $\frac{1}{512}$.

а) $\log_x \frac{1}{27} = -3$

Шаг 1: Понимание уравнения

По определению логарифма:

$$\log_x \left(\frac{1}{27}\right) = -3 \quad \Longleftrightarrow \quad x^{-3} = \frac{1}{27}$$

Шаг 2: Избавимся от отрицательной степени

$$x^{-3} = \frac{1}{27} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{x^3} = \frac{1}{27}$$

Шаг 3: Приравниваем знаменатели

$$x^3 = 27$$

Шаг 4: Извлекаем кубический корень

$$x = \sqrt[3]{27}$$

Шаг 5: Вычисляем корень

$$x = 3$$

Ответ: 3

б) $\log_x 4 = -\frac{1}{2}$

Шаг 1: Используем определение логарифма

$$\log_x 4 = -\frac{1}{2} \quad \Longleftrightarrow \quad x^{-1/2} = 4$$

Шаг 2: Избавимся от отрицательной степени

$$x^{-1/2} = 4 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{x}} = 4$$

Шаг 3: Обратим обе части

$$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$$

Шаг 4: Возводим обе части в квадрат

$$x = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$$

Ответ: $\frac{1}{16}$

в) $\log_x \frac{1}{16} = -4$

Шаг 1: Используем определение логарифма

$$\log_x \left( \frac{1}{16} \right) = -4 \quad \Longleftrightarrow \quad x^{-4} = \frac{1}{16}$$

Шаг 2: Избавимся от отрицательной степени

$$\frac{1}{x^4} = \frac{1}{16} \quad \Longleftrightarrow \quad x^4 = 16$$

Шаг 3: Извлекаем корень четвёртой степени

$$x = \sqrt[4]{16}$$

Шаг 4: Вычисляем корень

Так как $2^4 = 16$, то:

$$x = 2$$

Ответ: 2

г) $\log_x 8 = -\frac{1}{3}$

Шаг 1: Используем определение логарифма

$$\log_x 8 = -\frac{1}{3} \quad \Longleftrightarrow \quad x^{-1/3} = 8$$

Шаг 2: Избавимся от отрицательной степени

$$\frac{1}{x^{1/3}} = 8$$

Шаг 3: Обратим обе части

$$x^{1/3} = \frac{1}{8}$$

Шаг 4: Возводим обе части в третью степень

$$x = \left( \frac{1}{8} \right)^3 = \frac{1}{512}$$

Ответ: $\frac{1}{512}$