ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $2^x = 9$;

б) $12^x = 7$;

в) $\left( \frac{1}{3} \right)^x = 4$;

г) $(0,2)^x = 5$

Решить уравнение:

а) $2^x = 9$;
$\log_2 2^x = \log_2 9$;
$x = \log_2 9$;
Ответ: $\log_2 9$.

б) $12^x = 7$;
$\log_{12} 12^x = \log_{12} 7$;
$x = \log_{12} 7$;
Ответ: $\log_{12} 7$.

в) $\left( \frac{1}{3} \right)^x = 4$;
$3^{-x} = 4$;
$\log_3 3^{-x} = \log_3 4$;
$-x = \log_3 4$;
$x = -\log_3 4$;
Ответ: $-\log_3 4$.

г) $(0,2)^x = 5$;
$\log_{0,2} (0,2)^x = \log_{0,2} 5$;
$x = \log_{0,2} 5 = \log_{\frac{1}{5}} \left( \frac{1}{5} \right)^{-1} = -1$;
Ответ: $-1$.

а) $2^x = 9$

Шаг 1. Нам нужно найти такое значение $x$, при котором $2^x = 9$.
$2^x$ — показательная функция. 9 не является степенью двойки, поэтому решение — нецелое.

Шаг 2. Применим логарифм по основанию 2 к обеим частям уравнения:

$$\log_2 (2^x) = \log_2 9$$

Шаг 3. Используем основное логарифмическое тождество:

$$\log_b (b^x) = x$$

Применяем его к левой части:

$$x = \log_2 9$$

Шаг 4. Получено точное выражение, это и есть ответ.

Ответ: $\log_2 9$

б) $12^x = 7$

Шаг 1. Требуется найти значение $x$, при котором $12^x = 7$.
Так как 7 не является степенью 12, результат будет иррациональным.

Шаг 2. Логарифмируем обе части по основанию 12:

$$\log_{12} (12^x) = \log_{12} 7$$

Шаг 3. Применяем тождество $\log_b (b^x) = x$:

$$x = \log_{12} 7$$

Ответ: $\log_{12} 7$

в) $\left( \frac{1}{3} \right)^x = 4$

Шаг 1. Переписываем основание в виде отрицательной степени:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^x = 3^{-x}$$

Теперь уравнение имеет вид:

$$3^{-x} = 4$$

Шаг 2. Применяем логарифм по основанию 3:

$$\log_3 (3^{-x}) = \log_3 4$$

Шаг 3. Используем свойство логарифма:

$$\log_b (b^a) = a$$

Получаем:

$$-x = \log_3 4$$

Шаг 4. Умножаем обе части на $-1$:

$$x = -\log_3 4$$

Ответ: $-\log_3 4$

г) $(0{,}2)^x = 5$

Шаг 1. Основание степени 0,2 — это десятичная дробь, которую можно записать как:

$$0{,}2 = \frac{1}{5}$$

Значит, уравнение переписывается как:

$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = 5$$

Шаг 2. Представим 5 как степень основания $\frac{1}{5}$:

$$5 = \left( \frac{1}{5} \right)^{-1}$$

Тогда уравнение становится:

$$\left( \frac{1}{5} \right)^x = \left( \frac{1}{5} \right)^{-1}$$

Шаг 3. Так как основания равны и больше 0, можно приравнять показатели степеней:

$$x = -1$$

Ответ: $-1$