ГДЗ 10-11 Класс Номер 41.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $3^{x+1} = 14$;

б) $4^{5x-4} = 10$;

в) $\left( \frac{2}{7} \right)^{3 — x} = 11$;

г) $(\sqrt{5})^{8 — 9x} = 6$

а) $3^{x+1} = 14$;
$\log_3 3^{x+1} = \log_3 14$;
$x + 1 = \log_3 14$;
$x = \log_3 14 — 1$.
Ответ: $\log_3 14 — 1$.

б) $4^{5x-4} = 10$;
$\log_4 4^{5x-4} = \log_4 10$;
$5x — 4 = \log_4 10$;
$5x = \log_4 10 + 4$;
$x = \frac{\log_4 10 + 4}{5}$;
Ответ: $\frac{\log_4 10 + 4}{5}$.

в) $\left( \frac{2}{7} \right)^{3 — x} = 11$;
$\log_{\frac{2}{7}} \left( \frac{2}{7} \right)^{3 — x} = \log_{\frac{2}{7}} 11$;
$3 — x = \log_{\frac{2}{7}} 11$;
$x = 3 — \log_{\frac{2}{7}} 11$.
Ответ: $3 — \log_{\frac{2}{7}} 11$.

г) $(\sqrt{5})^{8 — 9x} = 6$;
$\log_{\sqrt{5}} (\sqrt{5})^{8 — 9x} = \log_{\sqrt{5}} 6$;
$8 — 9x = \log_{\sqrt{5}} 6$;
$9x = 8 — \log_{\sqrt{5}} 6$;
$x = \frac{8 — \log_{\sqrt{5}} 6}{9}$.
Ответ: $\frac{8 — \log_{\sqrt{5}} 6}{9}$.

а) $3^{x+1} = 14$

Шаг 1. Дано показательное уравнение с переменной в показателе степени.
$3^{x+1} = 14$

Шаг 2. Применим логарифм по основанию 3 к обеим частям:

$$\log_3 (3^{x+1}) = \log_3 14$$

Шаг 3. Используем свойство логарифма:

$$\log_b (b^a) = a$$

Применим его к левой части:

$$x + 1 = \log_3 14$$

Шаг 4. Выразим $x$:

$$x = \log_3 14 — 1$$

Ответ: $\log_3 14 — 1$

б) $4^{5x — 4} = 10$

Шаг 1. Дано показательное уравнение с выражением $5x — 4$ в показателе.
$4^{5x — 4} = 10$

Шаг 2. Применим логарифм по основанию 4:

$$\log_4 (4^{5x — 4}) = \log_4 10$$

Шаг 3. Применим свойство логарифма:

$$5x — 4 = \log_4 10$$

Шаг 4. Выразим $5x$:

$$5x = \log_4 10 + 4$$

Шаг 5. Разделим обе части на 5:

$$x = \frac{\log_4 10 + 4}{5}$$

Ответ: $\frac{\log_4 10 + 4}{5}$

в) $\left( \frac{2}{7} \right)^{3 — x} = 11$

Шаг 1. Основание дробное: $\frac{2}{7}$, степень — выражение $3 — x$.

$$\left( \frac{2}{7} \right)^{3 — x} = 11$$

Шаг 2. Применим логарифм по основанию $\frac{2}{7}$:

$$\log_{\frac{2}{7}} \left( \left( \frac{2}{7} \right)^{3 — x} \right) = \log_{\frac{2}{7}} 11$$

Шаг 3. Применяем свойство логарифма:

$$3 — x = \log_{\frac{2}{7}} 11$$

Шаг 4. Выразим $x$:

$$x = 3 — \log_{\frac{2}{7}} 11$$

Ответ: $3 — \log_{\frac{2}{7}} 11$

г) $(\sqrt{5})^{8 — 9x} = 6$

Шаг 1. Основание степени — корень: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
Степень — $8 — 9x$.

$$(\sqrt{5})^{8 — 9x} = 6$$

Шаг 2. Применим логарифм по основанию $\sqrt{5}$:

$$\log_{\sqrt{5}} \left( (\sqrt{5})^{8 — 9x} \right) = \log_{\sqrt{5}} 6$$

Шаг 3. Применяем свойство логарифма:

$$8 — 9x = \log_{\sqrt{5}} 6$$

Шаг 4. Выразим $9x$:

$$9x = 8 — \log_{\sqrt{5}} 6$$

Шаг 5. Разделим обе части на 9:

$$x = \frac{8 — \log_{\sqrt{5}} 6}{9}$$

Ответ: $\frac{8 — \log_{\sqrt{5}} 6}{9}$